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RECHERCHES SUR LA MÉTHODE

la proposée $\mathrm {Z}$ ne pourra pas être un minimum. En second lieu on trouvera pour le maximum

$\mathrm {A<0,\qquad C-{\frac {B^{2}}{A}}} <0,$

savoir

$\mathrm {C<{\frac {B^{2}}{A}}\qquad CA>B^{2}} ,$

puisque $\mathrm {A}$ est négatif, ce qui donne encore

$\mathrm {C} <0\,;$

donc les conditions pour le maximum seront en partie les mêmes, et en partie précisément contraires à celles du minimum.

5. Si $\mathrm {A}$ ou $\mathrm {C} ,$ ou toutes deux sont égales à zéro sans que $\mathrm {B}$ le soit aussi, la condition de $\mathrm {AC>B^{2}}$ ne pourra pas subsister, ainsi la quantité proposée ne deviendra jamais un vrai maximum ou minimum ; la même chose arrivera toutes les fois que $\mathrm {A}$ et $\mathrm {C}$ seront de signe contraire, car puisque $\mathrm {B} ^{2}$ est toujours positif la condition de $\mathrm {AC>B^{2}}$ devient impossible. Si $\mathrm {B}$ s’évanouissait encore en même temps que $\mathrm {A}$ ou $\mathrm {C} ,$ $d^{2}\mathrm {Z}$ se trouverait réduite au cas d’une seule variable, et par conséquent pourrait être de nouveau un maximum ou un minimum, ou ni l’un ni l’autre, selon ce qu’on a dit pour le premier cas. \mathrm Enfin, si la quantité $d^{2}\mathrm {Z}$ était toute égale à zéro, savoir

$\mathrm {A} =0,\quad \mathrm {B} =0,\quad \mathrm {C} =0,$

il faudrait recourir à la différentielle troisième ; que si celle-ci se trouve n’être pas égale à zéro, la quantité $Z$ ne peut être ni un maximum ni un minimum ; et au contraire, si elle évanouit en même temps que la seconde, on cherchera tout de suite la quatrième ; et si elle n’est pas évanouissante, il sera facile, par la méthode dont nous nous sommes servi ci-devant, de connaître si elle est positive ou négative, ce qui déterminera de nouveau le maximum ou le minimum.