Page:Lagrange - Œuvres (1867) vol. 1.djvu/653

et pareillement

${\begin{alignedat}{2}{\frac {dy'}{dt}}\cos \mathrm {H} t=&{\frac {du'}{dt}}+\mathrm {H} U',&{\frac {dy'}{dt}}\cos 2\mathrm {H} t=&{\frac {dv'}{dt}}+2\mathrm {H} V',\\{\frac {dy'}{dt}}\sin \mathrm {H} t=&{\frac {dU'}{dt}}-\mathrm {H} u',&{\frac {dy'}{dt}}\sin 2\mathrm {H} t=&{\frac {dV'}{dt}}-2\mathrm {H} v',\\{\frac {d^{2}y'}{dt^{2}}}\cos \mathrm {H} t=&{\frac {d^{2}u'}{dt^{2}}}+2\mathrm {H} {\frac {dU'}{dt}}-\mathrm {H} ^{2}u',&{\frac {d^{2}y'}{dt^{2}}}\cos 2\mathrm {H} t=&{\frac {d^{2}v'}{dt^{2}}}+4\mathrm {H} {\frac {dV'}{dt}}-4\mathrm {H} ^{2}v',\\{\frac {d^{2}y'}{dt^{2}}}\sin \mathrm {H} t=&{\frac {d^{2}U'}{dt^{2}}}-2\mathrm {H} {\frac {du'}{dt}}-\mathrm {H} ^{2}U',\quad &{\frac {d^{2}y'}{dt^{2}}}\sin 2\mathrm {H} t=&{\frac {d^{2}V'}{dt^{2}}}-4\mathrm {H} {\frac {dv'}{dt}}-4\mathrm {H} ^{2}V',\\\end{alignedat}}$

Cela posé, on aura d’abord, au lieu des équations (T) et (U), ces deux-ci :

${\begin{aligned}(1)\qquad \qquad &{\frac {d^{2}y\ }{dt^{2}}}+\mathrm {K} ^{2}\ y\ +i\left[(\mathrm {M\ -HN} )u'+\mathrm {N} {\frac {dU'}{dt}}\right]=\mathrm {T} .\\(2)\qquad \qquad &{\frac {d^{2}y'}{dt^{2}}}+\mathrm {K} '^{2}y'+i\left[(\mathrm {M'-HN'} )u-\mathrm {N} '{\frac {dU}{dt}}\right]=\mathrm {T} '.\\\end{aligned}}$

Ensuite les mêmes équations (T) et (U) étant multipliées successivement par $\cos \mathrm {H} t$ et par $\sin \mathrm {H} t$ donneront (après les substitutions) ces quatre autres équations :

${\begin{aligned}(3)\qquad &\left\{{\begin{aligned}{\frac {d^{2}u}{dt^{2}}}&+2\mathrm {H} {\frac {dU}{dt}}+\mathrm {\left(K^{2}-H^{2}\right)} u\\&+i\left[\ \ {\frac {\mathrm {M} }{2}}y'+\mathrm {\left({\frac {M}{2}}\ -NH\ \right)} v'+{\frac {\mathrm {N} }{2}}{\frac {dV'}{dt}}\right]=\mathrm {T} \cos \mathrm {H} t,\\\end{aligned}}\right.\\(4)\qquad &\left\{{\begin{aligned}{\frac {d^{2}U}{dt^{2}}}&-2\mathrm {H} {\frac {du}{dt}}+\mathrm {\left(K^{2}-H^{2}\right)} U\\&+i\left[\mathrm {\left({\frac {M}{2}}-NH\right)} V'+{\frac {\mathrm {N} }{2}}{\frac {dy'}{dt}}-{\frac {\mathrm {N} }{2}}{\frac {dv'}{dt}}\right]=\mathrm {T} \sin \mathrm {H} t,\\\end{aligned}}\right.\\(5)\qquad &\left\{{\begin{aligned}{\frac {d^{2}u'}{dt^{2}}}&+2\mathrm {H} {\frac {dU'}{dt}}+\mathrm {\left(K'^{2}-H^{2}\right)} u'\\&+i\left[\ \ {\frac {\mathrm {M} '}{2}}y+\mathrm {\left({\frac {M'}{2}}+N'H\right)} v-{\frac {\mathrm {N} '}{2}}{\frac {dV}{dt}}\right]=\mathrm {T} '\cos \mathrm {H} t,\\\end{aligned}}\right.\\(6)\qquad &\left\{{\begin{aligned}{\frac {d^{2}U'}{dt^{2}}}&-2\mathrm {H} {\frac {du'}{dt}}+\mathrm {\left(K'^{2}-H^{2}\right)} U'\\&+i\left[\mathrm {\left({\frac {M'}{2}}+N'H\right)} V-{\frac {\mathrm {N} '}{2}}{\frac {dy}{dt}}+{\frac {\mathrm {N} '}{2}}{\frac {dv}{dt}}\right]=\mathrm {T} '\sin \mathrm {H} t,\\\end{aligned}}\right.\end{aligned}}$

Enfin, multipliant encore l’une et l’autre des équations (T) et (U) par