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DE MAXIMIS ET MINIMIS.
est négatif il sera un maximum ; si
on suivra les règles données (1).
4. Les variables contenues dans
soient deux, savoir
et
alors
![{\displaystyle d^{2}\mathrm {Z} =\mathrm {A} dt^{2}+2\mathrm {B} dtdu+\mathrm {C} du^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0692df3e5b906c4e4654aac84a0a08223bf9b64c)
Il paraît au premier aspect bien difficile de connaître si cette expression
doit être positive ou négative, sans qu’on ait le rapport de
à
, qui n’est pas donné ; car, puisqu’en changeant ce rapport la fonction
doit aussi varier, il semble indubitable qu’elle pourra aussi passer du positif au négatif, et du négatif au positif, pendant que les quantités
restent les mêmes. Qu’on donne cependant à la proposée
![{\displaystyle \mathrm {A} dt^{2}+2\mathrm {B} dtdu+\mathrm {C} du^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/36529ffb5c0c0414e760a478312f2b18e91d219b)
cette forme
![{\displaystyle \mathrm {A} \left(dt+{\frac {\mathrm {B} du}{\mathrm {A} }}\right)^{2}+\left(\mathrm {C-{\frac {B^{2}}{A}}} \right)du^{2}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3db042687562361d8a6c06c2d0a3b321cbeff638)
et on verra que, comme les carrés
et
ont toujours le même signe
toute la quantité sera nécessairement positive si les deux coefficients
et
sont positifs, et au contraire elle deviendra négative, lorsque ceux-ci seront tous deux négatifs, quel que soit le rapport de
à
On aura donc pour le cas du minimum
![{\displaystyle \mathrm {A} >0,\quad \mathrm {C-{\frac {B^{2}}{A}}} >0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/734e885fe437952ca4708adc74a8441c8b74b81d)
savoir
![{\displaystyle \mathrm {C>{\frac {B^{2}}{A}}} \quad {\text{ou}}\quad \mathrm {CA>B} ^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1474970de7c096bb6e509b0b3eee78ee72612384)
ce qui donne de même
![{\displaystyle \mathrm {C} >0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/818b9de5c1faa330eaf6cdbf6ab258c55ea79705)
à moins donc que les quantités
n’aient ces conditions
![{\displaystyle \mathrm {A>0,\quad C>0\quad {\text{et}}\quad AC>B^{2}} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c5b48de6bd662e14fa8df4c2988be5c644bee10)