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RECHERCHES SUR LA MÉTHODE

et l’on aura d’abord cette équation

$pdt+qdu+rdx+sdy+\ldots =0.$

Mais comme la relation entre $t,\ u,\ x,\ldots ,$ est encore indéterminée, de même que celle de leurs différentielles $dt,\ du,\ dx,\ldots ,$ et que d’ailleurs l’équation donnée doit être vraie quel que soit leur rapport, il est évident que pour les chasser tout à fait de l’équation, il faut égaler séparément à zéro chaque membre $pdt,\ qdu,\ rdx,\ldots ,$ d’où l’on tire autant d’équations particulières qu’il y a de variables, savoir :

$p=0,\quad q=0,\quad r=0,\ldots .$

Par le moyen de toutes ces équations on trouvera les valeurs de chaque inconnue $t$, $u$, $x,\ldots ,$ qui, substituées dans la fonction proposée $Z$, la rendront un maximum ou un minimum.

3. Passons maintenant à l’examen de la seconde différentielle. En supposant, ce qui est permis, les premières différentielles $dt,\ du,\ dx\ldots ,$ constantes, on aura

$d^{2}\mathrm {Z} =dpdt+dqdu+drdx+dsdy+\ldots$

Soit

${\begin{aligned}dp&=\mathrm {A} dt+\mathrm {B} du+\mathrm {D} dx+\mathrm {G} dy+\ldots \\dq&=\mathrm {B} dt+\mathrm {C} du+\mathrm {E} \,dx+\mathrm {H} dy+\ldots \\dr&=\mathrm {D} dt+\mathrm {E} du+\mathrm {F} \,dx+\,\mathrm {I} \ dy+\ldots \\ds&=\mathrm {G} dt+\mathrm {H} du+\,\mathrm {I} \ dx+\,\mathrm {L} dy+\ldots \end{aligned}}$

ce qui donnera

${\begin{aligned}d^{2}\mathrm {Z} =&\mathrm {A} dt^{2}+2\mathrm {B} dtdu+\mathrm {C} du^{2}+2\mathrm {D} dtdx+2\mathrm {E} dudx\\&+\mathrm {F} dx^{2}+2\mathrm {G} dtdy+2\mathrm {H} dudy+2\mathrm {I} dxdy+\mathrm {L} dy^{2}+\ldots \end{aligned}}$

Pour commencer par le cas le plus simple, supposons qu’il n’y ait qu’une seule variable $t$, de sorte que $d^{2}\mathrm {Z=A} dt^{2}\,;$ on voit d’abord que, puisque $dt^{2}$ est toujours positif, la différentielle $d^{2}\mathrm {Z}$ doit avoir le même signe que la quantité $\mathrm {A} \,;$ donc, si $\mathrm {A}$ est positif, $\mathrm {Z}$ sera un minimum, et si