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De l’intégration des équations

(L)

$\ \left\{{\begin{aligned}{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}&+\mathrm {F} +\mathrm {G} y+\mathrm {H} z+i\left(\mathrm {K} y^{2}+\mathrm {L} yz+\mathrm {M} z^{2}\right)\\&+i^{2}(\mathrm {N} y^{3}+\mathrm {P} y^{2}z+\mathrm {Q} yz^{2}+\mathrm {R} z^{3})+\ldots =0.\end{aligned}}\right.$

(M)

$\left\{{\begin{aligned}{\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}&+f+gy+hz+i\left(ky^{2}+lyz+mz^{2}\right)\\&+i^{2}(ny^{3}+py^{2}z+qyz^{2}+rz^{3})+\ldots =0.\end{aligned}}\right.$

52. Nous commencerons par chercher la valeur des quantités ${\frac {d^{2}y}{dt^{2}}},{\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}$ et ${\frac {dydz}{dt^{2}}},$ qui entrent dans les différentielles secondes de $y^{2},z^{2},yz,\ldots \,;$ or, comme nous nous proposons seulement de pousser l’approximation jusqu’aux quantités de l’ordre de $i^{2},$ il suffira d’avoir égard, dans les valeurs dont il s’agit, aux termes de l’ordre de $i,$ parce que les quantités $y^{2},z^{2},yz,\ldots$ sont déjà elles-mêmes multipliées par $i$ dans les équations proposées.

Je multiplie d’abord l’équation (L) par $2dy,$ et j’en prends l’intégrale ; j’ai, en négligeant les termes affectés de $i^{2},$

(N)

$\qquad \left\{{\begin{aligned}{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}&+\mathrm {A} +2\mathrm {F} y+\mathrm {G} y^{2}+2\mathrm {H} \int zdy\\&+i\left({\frac {2\mathrm {K} }{3}}y^{3}+2\mathrm {L} \int yzdy+2\mathrm {M} \int z^{2}dy\right)=0.\end{aligned}}\right.$

Je multiplie de même l’équation (M) par $2dz$ et j’ai, après l’intégration,

${\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}+\mathrm {B} +2fz+2g\int ydz+hz^{2}+i\left(2k\int y^{2}dz+2l\int yzdz+{\frac {2m}{3}}z^{3}\right)=0.$

ou bien, en mettant $yz-\int zdy$ au lieu de $\int ydz,$ $y^{2}z-2\int yzdy$ au lieu de $\int y^{2}dz,$ et ${\frac {1}{2}}yz^{2}-{\frac {1}{2}}\int z^{2}dy$ au lieu de $\int yzdz,$

(O)

$\quad \left\{{\begin{aligned}{\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}&+\mathrm {B} +2fz+2gyz+hz^{2}+2g\int zdy\\&+i\left(2ky^{2}z+lyz^{2}+{\frac {2m}{3}}z^{3}-4k\int yzdy-l\int z^{2}dy\right)=0.\end{aligned}}\right.$