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de $v,$ nous aurons, en prenant $\mathrm {C}$ pour la constante,

$\lambda e^{\mathrm {R} t{\sqrt {-1}}}\left[\left(1+2i\alpha y+3i^{2}\beta y^{2}\right){\frac {dy}{dt}}\right.$

$\left.\left(y+i\alpha y^{2}+i^{2}\beta y^{3}+{\frac {\mathrm {L} -2i\alpha \mathrm {H} }{\mathrm {R} ^{2}}}\right)\mathrm {R} {\sqrt {-1}}\right]=\mathrm {C} .$

Or, soient, lorsque $t=0,$

$y=f\quad {\text{et}}\quad {\frac {dy}{dt}}=g,$

on aura

$\mathrm {C} =\lambda \left(1+2i\alpha f+3i^{2}\beta f^{2}\right)g-\lambda \left(f+i\alpha f^{2}+i^{2}\beta f^{3}+{\frac {\mathrm {L} -2i\alpha \mathrm {H} }{\mathrm {R} ^{2}}}\right)\mathrm {R} {\sqrt {-1}}.$

Donc, si l’on fait

$\mathrm {F} =f+i\alpha f^{2}+i^{2}\beta f^{3}+{\frac {\mathrm {L} -2i\alpha \mathrm {H} }{\mathrm {R} ^{2}}},\qquad \mathrm {G} =\left(1+2i\alpha f+3i^{2}\beta f^{2}\right),$

et qu’on divise toute l’équation par $e^{\mathrm {R} t{\sqrt {-1}}},$ on aura

$\left(1+2i\alpha y+3i^{2}\beta y^{2}\right){\frac {dy}{dt}}+\left(y+i\alpha y^{2}+i^{2}\beta y^{3}+{\frac {\mathrm {L} -2i\alpha \mathrm {H} }{\mathrm {R} ^{2}}}\right)\mathrm {R} {\sqrt {-1}}$

${\begin{aligned}&=\left(\mathrm {G-FR} {\sqrt {-1}}\right)e^{-\mathrm {R} t{\sqrt {-1}}}\\&=(\mathrm {G} \cos \mathrm {R} t-\mathrm {FR} \sin \mathrm {R} t)-(\mathrm {FR} \cos \mathrm {R} t+\mathrm {G} \sin \mathrm {R} t){\sqrt {-1}}\,;\end{aligned}}$

et prenant le radical ${\sqrt {-1}}$ en moins,

$\left(1+2i\alpha y+3i^{2}\beta y^{2}\right){\frac {dy}{dt}}-\left(y+i\alpha y^{2}+i^{2}\beta y^{3}+{\frac {\mathrm {L} -2i\alpha \mathrm {H} }{\mathrm {R} ^{2}}}\right)\mathrm {R} {\sqrt {-1}}$

$=(\mathrm {G} \cos \mathrm {R} t-\mathrm {FR} \sin \mathrm {R} t)+(\mathrm {FR} \cos \mathrm {R} t+\mathrm {G} \sin \mathrm {R} t){\sqrt {-1}}\,;$

donc, retranchant la première de ces équations de la seconde, et divisant ensuite par $2\mathrm {R} {\sqrt {-1}},$ on aura

(H)

$y+i\alpha y^{2}+i^{2}\beta y^{3}+{\frac {\mathrm {L} -2i\alpha \mathrm {H} }{\mathrm {R} ^{2}}}=\mathrm {F} \cos \mathrm {R} t+\mathrm {\frac {G}{R}} \sin \mathrm {R} t.$

C’est l’intégrale de l’équation (A), en n’ayant égard qu’aux quantités de l’ordre de $i$ et de $i^{2}.$

Si l’on veut avoir la valeur de $y,$ on n’aura qu’à résoudre l’équation (H) par approximation, en observant de négliger dans cette opération les