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valeur de $y$ est contenue entre ces deux limites :

$y=\mathrm {\frac {-L+{\sqrt {L^{2}-K^{2}H}}}{K^{2}}} \quad {\text{et}}\quad y=\mathrm {\frac {-L-{\sqrt {L^{2}-K^{2}H}}}{K^{2}}} .$

Pour trouver les autres racines, on supposera $y={\frac {z}{i}},$ et après avoir fait disparaître les puissances de $i$ qui se trouveront au dénominateur, on cherchera les valeurs de $z$ par les règles ordinaires d’approximation. De cette manière on aura, en ne considérant d’abord que l’équation

$x^{2}+\mathrm {K} ^{2}y^{2}+2\mathrm {L} y+\mathrm {H} +{\frac {2i\mathrm {M} }{3}}y^{3}=0,$

et poussant la précision jusqu’aux $i^{2},$

$z=-\mathrm {\frac {3K^{2}}{2M}} +{\frac {2i\mathrm {L} }{\mathrm {K} }}-{\frac {8i^{2}\mathrm {L^{2}M} }{3\mathrm {K} ^{6}}}-{\frac {2i^{2}\mathrm {M} \left(\mathrm {H} +x^{2}\right)}{3\mathrm {K} ^{4}}},$

et, par conséquent,

$y=-{\frac {3\mathrm {K} ^{2}}{2i\mathrm {M} }}+\mathrm {\frac {2L}{K}} -{\frac {8i\mathrm {L^{2}M} }{3\mathrm {K} ^{6}}}-{\frac {2i\mathrm {M} \left(\mathrm {H} +x^{2}\right)}{3\mathrm {K} ^{4}}},$

ce qui donne une branche parabolique infiniment éloignée de l’axe. On

tirera de même de l’équation

$x^{2}+\mathrm {K} ^{2}y^{2}+2\mathrm {L} y+\mathrm {H} +{\frac {2i\mathrm {M} }{3}}y^{3}+{\frac {i^{2}\mathrm {N} }{2}}y^{4}=0,$

$y={\frac {\alpha }{i}}+\beta +i\left(\gamma +\delta x^{2}\right),$

où

${\begin{aligned}\alpha =&\mathrm {\frac {-{\cfrac {2M}{3}}\pm {\sqrt {{\cfrac {4M^{2}}{9}}-2K^{2}}}}{N}} ,\\\beta =&-\mathrm {\frac {4L\alpha }{4N\alpha ^{3}+4M\alpha ^{2}+4K^{2}\alpha }} ,\\\gamma =&-\mathrm {\frac {\left(6N^{2}\alpha ^{2}+4M\alpha +2K^{2}\right)\beta ^{2}+4L\beta +2C}{4N\alpha ^{3}+4M\alpha ^{2}+4K^{2}\alpha }} ,\\\delta =&-\mathrm {\frac {2}{4N\alpha ^{3}+4M\alpha ^{2}+4K^{2}\alpha }} \end{aligned}}$