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dont l’intégrale sera

$y=f\cos \mathrm {K} t+\mathrm {\frac {L'}{K^{2}}} (\cos \mathrm {K} t-1)+i\mathrm {\frac {MLF}{K^{3}}} t\sin \mathrm {K} t-i\mathrm {\frac {MF^{2}}{2.3K^{2}}} (\cos \mathrm {K} t-\cos 2\mathrm {K} t),$

en supposant

$g=0\quad {\text{et}}\quad \mathrm {L} +i\mathrm {M\left({\frac {F^{2}}{2}}+{\frac {L^{2}}{K^{4}}}\right)=L'} .$

44. Mais voici une difficulté. L’expression de $y$ qu’on vient de trouver renferme un terme multiplié par $t,$ et si l’on continuait le calcul de la même manière, on trouverait encore des termes multipliés par $t^{2},t^{3},\ldots \,;$ cependant il est certain que la valeur de $y$ ne doit point contenir de pareils termes. Pour le démontrer je reprends l’équation (A) et j’en tire, en multipliant par $2dy$ et intégrant,

(B)

${\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+\mathrm {K} ^{2}y^{2}+2\mathrm {L} y+\mathrm {H} +{\frac {2i\mathrm {M} }{3}}y^{3}+{\frac {i^{2}\mathrm {N} }{2}}y^{4}\ldots =0,$

$\mathrm {H}$ étant une constante qu’on déterminera par les valeurs données de $y$ et de ${\frac {dy}{dt}},$ lorsque $t=0\,;$ de sorte qu’on aura, en général,

$\mathrm {H} =-g^{2}-\mathrm {K} ^{2}f^{2}-2\mathrm {L} f-{\frac {2i\mathrm {M} }{3}}f^{3}-{\frac {i^{2}\mathrm {N} }{2}}f^{4}\ldots .$

Je fais ${\frac {dy}{dt}}=x,$ j’ai

$x^{2}+\mathrm {K} ^{2}y^{2}+2\mathrm {L} y+\mathrm {H} +{\frac {2i\mathrm {M} }{3}}y^{3}+{\frac {i^{2}\mathrm {N} }{2}}y^{4}\ldots =0,$

équation qui peut être regardée comme appartenant à une courbe dont $x$ et $y$ soient les coordonnées. Or, puisque $i$ est une quantité très-petite, il est clair qu’on aura à peu près

$x^{2}+\mathrm {K} ^{2}y^{2}+2\mathrm {L} y+\mathrm {H} =0,$

d’où l’on tire

$y=-\mathrm {L} +{\frac {\sqrt {\mathrm {L^{2}-K^{2}H-K^{2}} x^{2}}}{\mathrm {K} ^{2}}}.$

Ces deux racines donnent, comme l’on voit, une ovale dans laquelle la