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De plus on aura

${\begin{aligned}\mathrm {Q} =&{\frac {\nu '\lambda '}{\sin ^{2}\varphi }}\left(\sin ^{2}\varphi +\sin ^{2}2\varphi +\sin ^{2}3\varphi +\ldots +\sin ^{2}n\varphi \right)\\=&{\frac {\nu '\lambda '}{\sin ^{2}\varphi }}\left[{\frac {1}{2}}n-{\frac {1}{2}}\left(\cos 2\varphi +\cos 4\varphi +\cos 6\varphi +\ldots +\cos 2n\varphi \right)\right]\\=&{\frac {\nu '\lambda '}{\sin ^{2}\varphi }}\left[{\frac {1}{2}}n-{\frac {1}{2}}\left({\frac {\cos 2n\varphi -\cos 2(n+1)\varphi }{2(1-\cos 2\varphi )}}-{\frac {1}{2}}\right)\right],\end{aligned}}$

ou à cause de $\varphi ={\frac {m\pi }{n+1}},$

$\mathrm {Q} ={\frac {(n+1)}{2\sin ^{2}\varphi }}\nu '\lambda '.$

On trouverait la même valeur de $\mathrm {Q}$ par la méthode du n^o 31: mais le calcul serait alors tant soit peu plus long. Cependant, comme ce calcul peut servir à montrer la bonté de la méthode dont nous parlons, je pas cru devoir le supprimer, mais je l’ai renfermé entre deux crochets, afin que mes lecteurs puissent le passer s’ils le jugent à propos.

[On aura d’abord

$\mathrm {P} ={\frac {\sin(n+1)\varphi }{(n+1)\sin \varphi }}\,;$

j’écris $\mathrm {P} ={\frac {\sin(n+1)\varphi }{(n+1)\sin \varphi }}$ et non pas simplement $\mathrm {P} ={\frac {\sin(n+1)\varphi }{\sin \varphi }},$ afin que, lorsque $\rho =0,$ c’est-à-dire $\varphi =0,$ on ait $\mathrm {P} =1,$ comme nous l’avons supposé : d’où l’on tire par la différentiation

${\frac {d\mathrm {P} }{d\varphi }}={\frac {\cos(n+1)\varphi }{\sin \varphi }}-{\frac {\sin(n+1)\varphi \cos \varphi }{(n+1)\sin ^{2}\varphi }},$

ou, à cause de $\sin(n+1)\varphi =0,$

${\frac {d\mathrm {P} }{d\varphi }}={\frac {\cos(n+1)\varphi }{\sin \varphi }}\,;$

or l’équation $1+{\frac {\rho ^{2}}{2k^{2}}}=\cos \varphi$ donne

${\frac {\rho ^{2}}{2k^{2}}}=\cos \varphi -1,$