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et de même

$\mathrm {Q} _{2}=-2\chi {\frac {\omega }{\rho _{1}}}\left(1-{\frac {\rho _{1}^{2}}{\rho _{3}^{2}}}\right)\ldots \left(1-{\frac {\rho _{1}^{2}}{\rho _{n}^{2}}}\right).$

Donc, si l’on fait ${\frac {d\mathrm {Q} }{d\rho }}=\mathrm {R} ,$ et qu’on dénote par $\mathrm {R} _{1}$ ce que devient $\mathrm {R}$ lorsque $\rho$ devient $\rho _{1},$ on aura

$\mathrm {Q_{1}=-{\frac {\omega }{\rho _{1}^{2}}}R_{1}\quad {\text{et}}\quad Q_{2}={\frac {\omega }{\rho _{2}^{2}}}R_{1}} .$

Or, en faisant

$\rho _{2}=\rho _{1}+\omega ,$

on a

$\nu _{2}^{(s)}\theta _{2}=\nu _{1}^{(s)}\theta _{1}+{\frac {d[\nu _{1}^{(s)}\theta _{1}]}{d\rho _{1}}}\omega \,;$

donc

${\frac {\nu _{1}^{(s)}\theta _{1}}{\mathrm {Q} _{1}}}+{\frac {\nu _{2}^{(s)}\theta _{2}}{\mathrm {Q} _{2}}}=-{\frac {\rho _{1}^{2}\nu _{1}^{(s)}\theta _{1}}{\omega \mathrm {R} _{1}}}+{\frac {\rho _{1}^{2}\nu _{1}^{(s)}\theta _{1}}{\omega \mathrm {R} _{1}}}+{\frac {\rho _{1}^{2}}{\omega \mathrm {R} _{1}}}{\frac {d[\nu _{1}^{(s)}\theta _{1}]}{d\rho _{1}}}\omega ={\frac {\rho _{1}^{2}}{\mathrm {R} _{1}}}{\frac {d[\nu _{1}^{(s)}\theta _{1}]}{d\rho _{1}}}.$

On résoudra de même le cas de trois racines égales, et ainsi des autres. Au reste, il est évident que les termes de la valeur de $y^{(s)}$ qui répondent aux racines égales contiendront toujours l’angle $t,$ et de plus, des exponentielles ordinaires si ces racines sont positives, et des sinus et des cosinus si elles sont négatives.

Enfin, s’il se trouvait des racines imaginaires, on les réduirait d’abord deux à deux à la forme $a+b{\sqrt {-1}}$ et $a-b{\sqrt {-1}},$ $a$ et $b$ étant des quantités réelles, de sorte que

$\rho _{1}^{2}=a+b{\sqrt {-1}},\qquad \rho _{2}^{2}=a-b{\sqrt {-1}},$

et ainsi de suite ; ce qui donnerait

$\rho _{1}=f+g{\sqrt {-1}},\qquad \rho _{2}=f-g{\sqrt {-1}},$

et par conséquent,

$e^{\pm \rho _{1}t}=e^{\pm ft}e^{\pm gt{\sqrt {-1}}}=e^{\pm ft}\left(\cos gt\pm \sin gt{\sqrt {-1}}\right),$

et de même

$e^{\pm \rho _{2}t}=e^{\pm ft}\left(\cos gt\pm \sin gt{\sqrt {-1}}\right).$