Page:Lagrange - Œuvres (1867) vol. 1.djvu/585

ensemble, donnent

$(i)\left\{{\begin{aligned}&\left[\rho ^{2}\nu '\,\ +\mathrm {A'\ \nu '+B'\ \ \nu ''+C'\,\ \nu '''+\ldots +N'\,} \nu ^{(n)}\right]\lambda '\\+&\left[\rho ^{2}\nu ''\ +\mathrm {A''\,\nu '+B''\,\nu ''+C''\,\nu '''+\ldots +N''\,} \nu ^{(n)}\right]\lambda ''\\+&\left[\rho ^{2}\nu '''+\mathrm {A'''\nu '+B'''\nu ''+C'''\nu '''+\ldots +N'''} \nu ^{(n)}\right]\lambda '''\\+&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\+&\left[\rho ^{2}\nu ^{(n)}+\mathrm {A} ^{(n)}\nu '+\mathrm {B} ^{(n)}\nu ''+\mathrm {C} ^{(n)}\nu '''+\ldots +\mathrm {N} ^{(n)}\nu ^{(n)}\right]\lambda ^{(n)}=0.\end{aligned}}\right.$

Donc, si l’on suppose que les quantités $\nu ',\nu '',\nu ''',\ldots ,\nu ^{(n)},$ ou plutôt leurs rapports, soient tels que les coefficients de $\lambda ',\lambda '',\lambda ''',\ldots ,\lambda ^{(n-1)}$ dans cette équation soient nuls chacun en particulier, celui de $\lambda ^{(n)}$ le sera aussi ; de sorte que l’on aura les $n$ équations suivantes :

$(k)\quad \left\{{\begin{aligned}&\rho ^{2}\nu '\,\ +\mathrm {A'\,\ \nu '+B'\,\ \nu ''+C'\ \nu '''+\ldots +N'\,\ } \nu ^{(n)}=0,\\&\rho ^{2}\nu ''\,+\mathrm {A''\ \nu '+B''\,\nu ''+C''\ \nu '''+\ldots +N''\,} \nu ^{(n)}=0,\\&\rho ^{2}\nu '''+\mathrm {A'''\nu '+B'''\nu ''+C'''\nu '''+\ldots +N'''} \nu ^{(n)}=0,\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\&\rho ^{2}\nu ^{(n)}+\mathrm {A} ^{(n)}\nu '+\mathrm {B} ^{(n)}\nu ''+\mathrm {C} ^{(n)}\nu '''+\ldots +\mathrm {N} ^{(n)}\nu ^{(n)}=0.\end{aligned}}\right.$

Et il est bon de remarquer qu’en éliminant de ces équations les quantités $\nu ',\nu '',\nu ''',\ldots ,$ on aura une équation finale en $\rho ^{2}$ qui sera nécessairement la même que celle qui résulte des équations (c) par l’évanouissement des quantités $\lambda ',\lambda '',\lambda ''',\ldots \,;$ ce qui peut se voir aisément à priori.

Faisons maintenant $\rho =\rho _{m},$ nous aurons

${\begin{aligned}&\mathrm {A'\,\ \nu '+B'\,\ \nu ''+C'\,\ \nu '''+\ldots +N'\,} \nu ^{(n)}=-\rho _{m}^{2}\nu ',\\&\mathrm {A''\ \nu '+B''\,\nu ''+C''\ \nu '''+\ldots +N''} \nu ^{(n)}=-\rho _{m}^{2}\nu '',\\&\mathrm {A'''\nu '+B'''\nu ''+C'''\nu '''+\ldots +N'''} \nu ^{(n)}=-\rho _{m}^{2}\nu ''',\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\&\mathrm {A} ^{(n)}\nu '+\mathrm {B} ^{(n)}\nu ''+\mathrm {C} ^{(n)}\nu '''+\ldots +\mathrm {N} ^{(n)}\nu ^{(n)}=-\rho _{m}^{2}\nu ^{(n)}\end{aligned}}$

et l’équation (i) deviendra

$\left(\rho ^{2}-\rho _{m}^{2}\right)\left[\nu '\lambda '+\nu ''\lambda ''+\nu '''\lambda '''+\ldots +\nu ^{(n)}\lambda ^{(n)}\right]=0,$

laquelle devant être vraie pour toutes les valeurs de $\rho$ qui satisfont aux