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${\begin{aligned}\mathrm {V} ''\ =&\lambda \ \ z\ \,-{\frac {d.\mu \ \ z\ \ }{dt}}+{\frac {d^{2}.\nu \ \ z\ \,}{dt^{2}}}-\ldots \\+&\lambda '\ z'\,-{\frac {d.\mu '\ z'\,}{dt}}+{\frac {d^{2}.\nu '\ z'}{dt^{2}}}-\ldots \\+&\lambda ''z''-{\frac {d.\mu ''z''}{dt}}+{\frac {d^{2}.\nu ''z''}{dt^{2}}}-\ldots \\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\\\end{aligned}}$

Supposant donc

$\mathrm {V=0,\qquad V'=0,\qquad V''} =0,\ldots ,$

on aura

$\mathrm {U} =\int (\mathrm {T} z+\mathrm {T} z'+\mathrm {T} ''z''+\ldots )dt,$

équation dans laquelle les plus hautes différences des variables $y,y',$$y'',\ldots$ se trouveront moins élevées d’une unité que dans les équations différentielles proposées.

On aura donc autant de pareilles intégrales qu’on trouvera de valeurs particulières de chacune des quantités $z,z',z'',\ldots$ par le moyen des équations $\mathrm {V=0,\ V'=0,\ V''} =0,\ldots .$ Or, soit $m$ la somme des exposants des plus hautes différences de $y,y',y'',\ldots$ dans les équations proposées, il est clair que la quantité $\mathrm {U}$ contiendra autant d’inconnues, comme $y,y',y'',\ldots ,{\frac {dy}{dt}},{\frac {dy'}{dt}},{\frac {dy''}{dt}},\ldots ,$ qu’il y a d’unités dans le nombre $m\,;$ donc, si l’on a aussi $m$ valeurs particulières de $z,$ de $z',$ de $z'',\ldots ,$ on trouvera facilement les valeurs générales et complètes de $y,y',y'',\ldots .$

Soient maintenant $\mathrm {Y,Y',Y''} ,\ldots$ les premiers membres des équations proposées, on aura

(U)

$\int (\mathrm {Y} z+\mathrm {Y} 'z'+\mathrm {Y} ''z''+\ldots )dt=\mathrm {U} +\int (\mathrm {V} y+\mathrm {V} 'y'+\mathrm {V} ''y''+\ldots )dt\,;$

donc, faisant $\mathrm {V=0,\ V'=0,\ V''} =0,\ldots ,$ on aura l’équation

$\mathrm {U} -\int (\mathrm {Y} z+\mathrm {Y} 'z'+\mathrm {Y} ''z''+\ldots )dt=\mathrm {const} .,$

laquelle aura nécessairement toutes les valeurs de $z,z',z'',\ldots$ communes