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Présentement on trouvera, par le numéro précédent,

${\begin{aligned}p=&{\frac {e^{\pi }-e^{-\pi }}{2\pi }}\left[{\frac {1}{2}}\varphi (t)-{\frac {\varphi (x+t)+\varphi (x-t)}{1+1}}+{\frac {\varphi (x+2t)+\varphi (x-2t)}{4+1}}-\ldots \right]\\&-{\frac {e^{\pi }-e^{-\pi }}{2\pi }}\left[{\frac {\psi (x+t)-\psi (x-t)}{1+1}}-2{\frac {\psi (x+2t)-\psi (x-2t)}{4+1}}+\ldots \right],\\q=&{\frac {e^{\pi }-e^{-\pi }}{2\pi }}\left[{\frac {\varphi (x+t)-\varphi (x-t)}{1+1}}-2{\frac {\varphi (x+2t)-\varphi (x-2t)}{4+1}}+\ldots \right]\\&+{\frac {e^{\pi }-e^{-\pi }}{2\pi }}\left[{\frac {1}{2}}\psi (x)-{\frac {\psi (x+t)+\psi (x-t)}{1+1}}+{\frac {\psi (x+2t)+\psi (x-2t)}{4+1}}-\ldots \right].\end{aligned}}$

Donc, puisque $q$ doit être égale à zéro, lorsque $x=0$ et $x=a,$ il faudra que l’on ait

${\begin{aligned}&{\frac {\varphi (t)-\varphi (-t)}{1+1}}-2{\frac {\varphi (2t)-\varphi (-2t)}{4+1}}+\ldots \\&\quad +{\frac {1}{2}}\psi (0)-{\frac {\psi (t)+\psi (-t)}{1+1}}+{\frac {\psi (2t)+\psi (-2t)}{4+1}}-\ldots =0,\\\\&{\frac {\varphi (a+t)-\varphi (a-t)}{1+1}}-2{\frac {\varphi (a+2t)-\varphi (a-2t)}{4+1}}+\ldots \\&\quad +{\frac {1}{2}}\psi (a)-{\frac {\psi (a+t)+\psi (a-t)}{1+1}}+{\frac {\psi (a+2t)+\psi (a-2t)}{4+1}}-\ldots =0,\end{aligned}}$

ou bien, atin que les fonctions $\varphi$ et $\psi$ ne dépendent point l’une de l’autre,

${\begin{aligned}&{\frac {\varphi (t)-\varphi (-t)}{1+1}}-2{\frac {\varphi (2t)-\varphi (-2t)}{4+1}}+\ldots =0,\\&{\frac {\varphi (a+t)-\varphi (a-t)}{1+1}}-2{\frac {\varphi (a+2t)-\varphi (a-2t)}{4+1}}+\ldots =0,\\&{\frac {1}{2}}\psi (0)-{\frac {\psi (t)+\psi (-t)}{1+1}}+{\frac {\psi (2t)+\psi (-2t)}{4+1}}-\ldots =0,\\&{\frac {1}{2}}\psi (a)-{\frac {\psi (a+t)+\psi (a-t)}{1+1}}+{\frac {\psi (a+2t)+\psi (a-2t)}{4+1}}-\ldots =0.\end{aligned}}$

Pour satisfaire à ces quatre conditions, on supposera que les fonctions $\varphi$ et $\psi$ soient telles, que l’on ait en général, quelle que soit la valeur de $u,$

$\varphi (u)=\varphi (-u),\qquad \varphi (a+u)=\varphi (a-u),$

$\psi (u)=-\psi (-u),\qquad \psi (a+u)=-\psi (a-u),$