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ou bien, en faisant $\alpha =a{\frac {e^{\pi }-e^{-\pi }}{2\pi }},$

$\alpha ^{(m)}=\pm {\frac {e^{\pi }-e^{-\pi }}{\pi }}{\frac {m^{2}(1-a)-a}{m^{2}+1}}\,;$

donc enfin

$y={\frac {e^{\pi }-e^{-\pi }}{\pi }}\left[{\frac {a}{2}}\mathrm {Y} +{\frac {1-a-a}{1+1}}\mathrm {Y} '-{\frac {4(1-a)-a}{4+1}}\mathrm {Y} ''\right.$

$\left.+{\frac {9(1-a)-a}{9+1}}\mathrm {Y} '''-\ldots \right]$

Or, puisque la quantité $a$ est arbitraire, on la déterminera de manière que la série devienne la plus convergente qu’il est possible ; c’est pourquoi on fera $1-a=0,$ savoir $a=1\,;$ ce qui donnera

$y={\frac {e^{\pi }-e^{-\pi }}{\pi }}\left({\frac {\mathrm {Y} }{2}}-{\frac {\mathrm {Y} '}{1+1}}+{\frac {\mathrm {Y} ''}{4+1}}-{\frac {\mathrm {Y} '''}{9+1}}+\ldots \right),$

et par conséquent

${\begin{aligned}&\varphi \left(t+x{\sqrt {-1}}\right)+\varphi \left(t-x{\sqrt {-1}}\right)\\=&{\frac {e^{\pi }-e^{-\pi }}{\pi }}\left[{\frac {1}{2}}\varphi (t)-{\frac {\varphi (t+x)+\varphi (t-x)}{1+1}}+{\frac {\varphi (t+2x)+\varphi (t-2x)}{4+1}}\right.\end{aligned}}$

$\left.-{\frac {\varphi (t+3x)+\varphi (t-3x)}{9+1}}+\ldots \right].$

Qu’on dîfférentie cette équation en faisant varier $x,$ et qu’on l’intègre ensuite en faisant varier $t,$ on aura

${\begin{aligned}&\left[\varphi \left(t+x{\sqrt {-1}}\right)-\varphi \left(t-x{\sqrt {-1}}\right)\right]{\sqrt {-1}}\\=&{\frac {e^{\pi }-e^{-\pi }}{\pi }}\left[{\frac {\varphi (t+x)-\varphi (t-x)}{1+1}}-2{\frac {\varphi (t+2x)-\varphi (t-2x)}{4+1}}\right.\end{aligned}}$

$\left.+3{\frac {\varphi (t+3x)-\varphi (t-3x)}{9+1}}-\ldots \right].$

Donc, si l’on fait

$\mathrm {P} ={\frac {e^{\pi }-e^{-\pi }}{2\pi }}\left[{\frac {1}{2}}\varphi (t)-{\frac {\varphi (t+x)+\varphi (t-x)}{1+1}}+{\frac {\varphi (t+2x)+\varphi (t-2x)}{4+1}}\right.$

$\left.-{\frac {\varphi (t+3x)+\varphi (t-3x)}{9+1}}+\ldots \right],$