on aura
![{\displaystyle y=\alpha \mathrm {Y+\alpha 'Y'+\alpha ''Y''+\alpha '''Y'''} +\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b8d42e784b063f4e5912c9683e6c6185923fb1c)
Tout se réduira donc à tirer les valeurs de
des équations (T). Pour y parvenir, je multiplie la seconde par
la troisième par
la quatrième par
étant des coefficients indéterminés ; après quoi je les ajoute toutes ensemble, ce qui me donne
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\ 1+\beta '+\beta ''+\beta '''+\ldots -\alpha \\-&(1-\beta '+\beta ''-\beta '''+\ldots )\alpha '\\-&\left(1-2^{2}\beta '+2^{4}\beta ''-2^{6}\beta '''+\ldots \right)\alpha ''\\-&\left(1-3^{2}\beta '+3^{4}\beta ''-3^{6}\beta '''+\ldots \right)\alpha '''\\-&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots =0.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/806cac541da4066df12957ad0671df6bb7cb73f8)
À présent, pour avoir la valeur d’une
quelconque, comme
je fais égal à zéro chacun des coefficients des autres
de cette manière j’ai d’abord
![{\displaystyle \alpha ^{(m)}={\frac {1+\beta '+\beta ''+\beta '''+\ldots -\alpha }{1-m^{2}\beta '+m^{4}\beta ''-m^{6}\beta '''+\ldots }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/256f731544e283c3e2590c9a0372806d61ba6e13)
et ensuite les équations de condition
![{\displaystyle {\begin{aligned}&1-\beta '+\beta ''-\beta '''+\ldots =0,\\&1-2^{2}\beta '+2^{4}\beta ''-2^{6}\beta '''+\ldots =0,\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d923f0edbaf15bf34db4ddf2c694ffb0e31ca29)
c’est-à-dire l’équation
![{\displaystyle 1-\beta 'u^{2}+\beta ''u^{4}-\beta '''u^{6}+\ldots =0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31b4bd6003337367768793d031748d3644651ca4)
laquelle doit avoir lieu en mettant au lieu de
tous les nombres entiers
à l’infini, excepté
Donc, si l’on multiplie cette équation par
et qu’on suppose
on aura
![{\displaystyle 1-{\frac {\beta '+{\cfrac {1}{m^{2}}}}{\pi ^{2}}}z^{2}+{\frac {\beta ''+{\cfrac {\beta '}{m^{2}}}}{\pi ^{4}}}z^{4}+{\frac {\beta '''+{\cfrac {\beta ''}{m^{2}}}}{\pi ^{6}}}z^{6}+\ldots =0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/58ff29b50ca76ac1c34d536a9c29e08947025943)