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de plus on trouvera

$\scriptstyle \mathrm {Q_{1}=M+N} {\sqrt {-1}}\quad {\text{et}}\quad \scriptstyle \mathrm {Q_{2}=M-N} {\sqrt {-1}},$

donc les termes $-{\frac {\theta _{1}}{\scriptstyle \mathrm {Q} _{1}}}-{\frac {\theta _{2}}{\scriptstyle \mathrm {Q} _{2}}}$ se réduiront à

$-{\frac {2e^{-r-t}}{\scriptstyle \mathrm {M+N^{2}} }}\left[\left({\scriptstyle \mathrm {M} }\cos {\scriptstyle \mathrm {G} }t-{\scriptstyle \mathrm {N} }\sin {\scriptstyle \mathrm {G} }t\right)\int \mathrm {T} e^{rt}\cos {\scriptstyle \mathrm {G} }tdt\right.$

$\left.+\left({\scriptstyle \mathrm {M} }\sin {\scriptstyle \mathrm {G} }t+{\scriptstyle \mathrm {N} }\cos {\scriptstyle \mathrm {G} }t\right)\int \mathrm {T} e^{rt}\sin {\scriptstyle \mathrm {G} }tdt\right].$

Résolution de l’équation

$\alpha \varphi \left[t+a(h+kt)\right]+\beta \varphi \left[t+b(h+kt)\right]+\gamma \varphi \left[t+c(h+kt)\right]+\ldots =\mathrm {T} .$

dans laquelle $\varphi$ dénote une fonction inconnue.

18. On sait que $\varphi \left[t+a(h+kt)\right]$ peut se réduire en série de cette manière :

$\varphi (t)+a(h+kt){\frac {d\varphi (t)}{dt}}+{\frac {1}{2}}a^{2}(h+kt)^{2}{\frac {d\varphi ^{2}(t)}{dt^{2}}}+{\frac {1}{2.3}}a^{3}(h+kt)^{3}{\frac {d\varphi ^{3}(t)}{dt^{3}}}+\ldots \,;$

donc, si l’on développe de même $\varphi \left[t+b(h+kt)\right],\ \varphi \left[t+c(h+kt)\right],\ldots ,$ et qu’on fasse

$\varphi (t)=y,$

l’équation proposée deviendra

(S)

$\left\{{\begin{aligned}(\alpha &+\beta +\gamma +\ldots )y\\&+\ {\frac {1}{2}}\ \,\left(\alpha a^{2}+\beta b^{2}+\gamma c^{2}+\ldots \right)(h+kt)^{2}{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}\\&+{\frac {1}{2.3}}\left(\alpha a^{3}+\beta b^{3}+\gamma c^{3}+\ldots \right)(h+kt)^{3}{\frac {d^{3}y}{dt^{3}}}\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots =\mathrm {T} .\end{aligned}}\right.$