Application à l’équation
![{\displaystyle \mathrm {A} y+\mathrm {B} {\frac {dy}{dt}}+\mathrm {C} {\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+\mathrm {D} {\frac {d^{3}y}{dt^{3}}}+\ldots =\mathrm {T} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/56886fb6c82589f1307adda34cc60a8447b74cff)
17. On aura dans ce cas
et
mais comme la supposition de
donnerait
on supposera simplement
infiniment petite, et ensuite
infiniment grande, en sorte que
soit égal à une quantité finie
de cette manière on aura
![{\displaystyle \mathrm {P=A-B} \rho +\mathrm {C} \rho ^{2}-\mathrm {D} \rho ^{3}+\ldots =0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0af3402b510add5c257d8f222a8b159dda047638)
équation d’où l’on tirera autant de valeurs de
qu’il y a d’unités dans l’exposant de l’ordre de l’équation différentielle, de sorte que, si l’on appelle
les racines de cette équation, on aura
![{\displaystyle r_{1}={\frac {\rho _{1}}{k}},\qquad r_{2}={\frac {\rho _{2}}{k}},\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6750b4d1386fe79fa5dc6e2302ccc385aa5067de)
Or on a
donc, si l’on fait
on aura
et par conséquent
![{\displaystyle \mathrm {Q} _{1}=k\scriptstyle \mathrm {Q} _{1},\qquad \displaystyle \mathrm {Q} _{2}=k\scriptstyle \mathrm {Q} _{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dbb3d46bc19a44230a5dcd65ca61481b13afae13)
donc
![{\displaystyle y=-\left({\frac {\theta _{1}}{\scriptstyle \mathrm {Q} _{1}}}+{\frac {\theta _{2}}{\scriptstyle \mathrm {Q} _{2}}}+{\frac {\theta _{3}}{\scriptstyle \mathrm {Q} _{3}}}+\ldots \right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59df8396d947bef01e3537b92a1275887a377f37)
Or
![{\displaystyle \theta =(h+kt)^{-r-1}\int \mathrm {T} (h+kt)^{r}dt\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff6d60cc4447fa242c2cbd2accbe76ff7a7487a7)
donc, si l’on fait
et qu’on mette
au lieu de
on aura, à cause de ![{\displaystyle r=\infty ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9460d6ded8e32630bc73fa67c58740cfcece0d1c)
![{\displaystyle \theta =(1+kt)^{-{\frac {\rho }{k}}}\int \mathrm {T} (1+kt)^{\frac {\rho }{k}}dt\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d71a66a7452bd0ef5508a944a77a63a884b1589)
mais on sait que
![{\displaystyle (1+kt)^{\pm {\frac {\rho }{k}}}dt=e^{\pm \rho t}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/818d531960d4c2d9ce8222895b371c565bed63e1)