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remarquera que, puisque $r_{2}=rs_{1},$ on a $\left(r-r_{1}\right)^{2}\Pi =\mathrm {P} \,;$ d’où l’on tire, en différentiant deux fois,

$2\Pi +4(r-r_{1}){\frac {d\Pi }{dr}}+(r-r_{1})^{2}{\frac {d^{2}\Pi }{dr^{2}}}={\frac {d^{2}\mathrm {P} }{dr^{2}}}=\mathrm {R} \,;$

et, par conséquent, en faisant $r=r_{1},$

$2\Pi _{1}=\mathrm {R} _{1}\quad {\text{et}}\quad \Pi _{1}={\frac {\mathrm {R} _{1}}{2}}\,;$

donc

$\mathrm {Q} _{1}=-{\frac {\omega }{2}}\mathrm {R} _{1}\quad {\text{et}}\quad \mathrm {Q} _{2}=-{\frac {\omega }{2}}\mathrm {R} _{2}.$

Maintenant on a

$\theta _{1}=(h+kt)^{-r_{1}-1}$

$\times \int \mathrm {T} (h+kt)^{r_{1}}dt\quad {\text{et}}\quad \theta _{2}=(h+kt)^{-r_{2}-1}\int \mathrm {T} (h+kt)^{r_{2}}dt\,;$

or

$(h+kt)^{-r_{2}-1}=(h+kt)^{-r_{1}-1-\omega }=(h+kt)^{-r_{1}-1}\left[1-\omega \log(h+kt)\ldots \right],$

et de même

$(h+kt)^{r_{2}}=(h+kt)^{r_{1}}\left[1+\omega \log(h+kt)\right]\,;$

donc, négligeant les $\omega ^{2},$ on aura

$\theta _{2}=\theta _{1}+\omega (h+kt)^{-r_{1}-1}$

$\times \left[\int \mathrm {T} (h+kt)^{r_{1}}\log(h+kt)dt-\log(h+kt)\int \mathrm {T} (h+kt)^{r_{1}}dt\right],$

ou bien

$\theta _{2}=\theta _{1}-\omega (h+kt)^{-r_{1}-1}\int {\frac {kdt}{h+kt}}\int \mathrm {T} (h+kt)^{r_{1}}dt\,;$

donc, faisant ces substitutions dans les termes $-k{\frac {\theta _{1}}{\mathrm {Q} _{1}}}-k{\frac {\theta _{2}}{\mathrm {Q} _{2}}}$ de la valeur de $y,$ lesquels répondent aux racines égales $r_{1},r_{2},$ et effaçant ce qui se détruit, on aura

$-k{\frac {\theta _{1}}{\mathrm {Q} _{1}}}-k{\frac {\theta _{2}}{\mathrm {Q} _{2}}}=k{\frac {2(h+kt)^{-r_{1}-1}}{\mathrm {R} _{1}}}\int {\frac {kdt}{h+kt}}\int \mathrm {T} (h+kt)^{r_{1}}dt.$

On résoudrait de même le cas de trois racines égales, en faisant $r_{2}=r_{1}+\omega ,\ r_{3}=r_{1}+\eta ,$ $\omega$ et $\eta$ étant deux quantités infiniment petites, et ayant égard