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celui de $m$ pair), et

$b+2cr+3dr^{2}+\ldots ={\frac {d\mathrm {P} }{dr}}.$

Donc, si l’on fait ${\frac {d\mathrm {P} }{dr}}=\mathrm {Q} ,$ et qu’on dénote par $\mathrm {Q_{1},Q_{2},Q_{3}} ,\ldots ,$ les valeurs de $\mathrm {Q}$ lorsque $r$ devient $r_{1},r_{2},r_{3},\ldots ,$ on aura

$\mathrm {M} '={\frac {+\mathrm {V} k^{m}\mathrm {R} ^{(m-1)}}{\mathrm {Q} _{1}}},\qquad \mathrm {M} ''={\frac {+\mathrm {V} k^{m}\mathrm {R} ^{(m-1)}}{\mathrm {Q} _{2}}},\ldots .$

Substituant donc ces valeurs dans la formule (P), et faisant attention que

${\begin{aligned}&\mathrm {M'\alpha _{1}+M''\alpha _{2}+M'''\alpha _{3}} +\ldots \\&\qquad \qquad =\pm \mathrm {V} k^{(m-1)}\left(\mathrm {M} 'r_{1}^{(m-1)}+\mathrm {M} ''r_{2}^{(m-1)}+\mathrm {M} '''r_{3}^{(m-1)}+\ldots \right)\\&\qquad \qquad =\pm \mathrm {V} k^{(m-1)}\mathrm {R} ^{(m-1)},\end{aligned}}$

on aura enfin

(R)

$y=-k\mathrm {\left({\frac {\theta _{1}}{Q_{1}}}+{\frac {\theta _{2}}{Q_{2}}}+{\frac {\theta _{3}}{Q_{3}}}+\ldots \right)} .$

D’où l’on voit que chaque racine de l’équation $\mathrm {P} =0$ donne, dans la valeur de $y,$ un terme correspondant tel que $-k{\frac {\theta }{\mathrm {Q} }}.$

16. Toute la difficulté se réduit donc à résoudre l’équation $\mathrm {P} =0\,;$ or il peut arriver deux cas qu’il est bon d’examiner : le premier est celui où cette équation aurait des racines égales, le second celui où elle aurait des racines imaginaires.

1^o Supposons que l’on trouve deux racines égales, par exemple $r_{2}=r_{1}\,;$ on fera $r_{2}=r_{1}+\omega ,$ $\omega$ étant une quantité évanouissante ; et, comme $\mathrm {P}$ peut être représenté en général par $\left(r-r_{1}\right)\left(r-r_{2}\right)\Pi ,$ on aura

$\mathrm {Q} ={\frac {d\mathrm {P} }{dr}}=\left(r-r_{2}\right)\Pi +\left(r-r_{1}\right)\Pi +\left(r-r_{1}\right)\left(r-r_{2}\right){\frac {d\Pi }{dr}}\,;$

donc, faisant successivement $r=r_{1}$ et $r=r_{2},$ et substituant $r_{1}+\omega$ au lieu de $r_{2},$ on aura

$\mathrm {Q} _{1}=-\omega \Pi _{1},\quad {\text{et}}\quad \mathrm {Q} _{2}=-\omega \Pi _{1},$

$\Pi _{1},$ étant la valeur de $\Pi$ lorsque $r=r_{1}.$ Pour trouver cette valeur, on