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j’aurai

(P)

$y=\mathrm {\frac {M'\theta _{1}+M''\theta _{2}+M'''\theta _{3}+\ldots }{M'\alpha _{1}+M''\alpha _{2}+M'''\alpha _{3}+\ldots }} ,$

et toute la difficulté se réduira à déterminer les quantités $\mathrm {M',M'',M'''} ,\ldots$ par le moyen des équations (N).

Or, si l’on substitue dans ces équations les valeurs de $\beta _{1},\gamma _{1},\ldots ,\beta _{2},\gamma _{2},\ldots ,$ et qu’on ordonne les termes par rapport aux puissances de $r,$ on verra qu’elles se réduisent à celles-ci :

${\begin{aligned}&\mathrm {M'+M''+M'''} +\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots +\mathrm {M} ^{(m)}=0,\\&\mathrm {M} 'r_{1}+\mathrm {M} ''r_{2}+\mathrm {M} '''r_{3}+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ +\mathrm {M} ^{(m)}r_{m}=0,\\&\mathrm {M} 'r_{1}^{2}+\mathrm {M} ''r_{2}^{2}+\mathrm {M} '''r_{3}^{2}+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ +\mathrm {M} ^{(m)}r_{m}^{2}=0,\\&\mathrm {M} 'r_{1}^{3}+\mathrm {M} ''r_{2}^{3}+\mathrm {M} '''r_{3}^{3}+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ +\mathrm {M} ^{(m)}r_{m}^{3}=0,\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\\&\mathrm {M} 'r_{1}^{m-2}+\mathrm {M} ''r_{2}^{m-2}+\mathrm {M} '''r_{3}^{m-2}+\ldots \ldots +\mathrm {M} ^{(m)}r_{m}^{m-2}=0,\end{aligned}}$

$m$ étant l’exposant de l’ordre de l’équation proposée (H), et, la quantité $\mathrm {M'\alpha _{1}+M''\alpha _{2}+M'''\alpha _{3}} +\ldots$ deviendra

$\pm \mathrm {V} k^{m-1}\left(\mathrm {M} 'r_{1}^{m-1}+\mathrm {M} ''r_{2}^{m-1}+\mathrm {M} '''r_{3}^{m-1}+\ldots +\mathrm {M} ^{(m)}r_{m}^{m-1}\right),$

dans laquelle $\mathrm {V}$ est le coefficient du terme $(h+kt)^{m}{\frac {d^{m}y}{dt^{m}}}$ de la même équation, le signe supérieur étant pour le cas de $m$ impair, et le signe inférieur pour celui de $m$ pair.

Telles sont les équations par lesquelles il faudra déterminer les inconnues $\mathrm {M',M'',M''',\ldots ,M^{(m)}} .$

Pour rendre cette recherche plus générale, nous supposerons que l’on ait les équations suivantes :

${\begin{aligned}&\mathrm {M'+M''+M'''} +\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots +\mathrm {M} ^{(m)}=\mathrm {R} ,\\&\mathrm {M} 'r_{1}+\mathrm {M} ''r_{2}+\mathrm {M} '''r_{3}+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ +\mathrm {M} ^{(m)}r_{m}=\mathrm {R} ',\\&\mathrm {M} 'r_{1}^{2}+\mathrm {M} ''r_{2}^{2}+\mathrm {M} '''r_{3}^{2}+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ +\mathrm {M} ^{(m)}r_{m}^{2}=\mathrm {R} '',\\&\mathrm {M} 'r_{1}^{3}+\mathrm {M} ''r_{2}^{3}+\mathrm {M} '''r_{3}^{3}+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ +\mathrm {M} ^{(m)}r_{m}^{3}=\mathrm {R} ''',\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\\&\mathrm {M} 'r_{1}^{m-1}+\mathrm {M} ''r_{2}^{m-1}+\mathrm {M} '''r_{3}^{m-1}+\ldots \ldots +\mathrm {M} ^{(m)}r_{m}^{m-1}=\mathrm {R} ^{(m-1)}.\end{aligned}}$