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8. Donc l’équation (A) sera aussi intégrable algébriquement, toutes les fois qu’on aura $m-1$ valeurs de $y$ dans le cas de $\mathrm {T} =0.$

9. Si les valeurs connues de $y$ n’étaient qu’au nombre de $m-2,$ alors il faudrait, pour avoir les $m$ valeurs de $z,$ intégrer une équation de cette forme

$\mathrm {V} z+\mathrm {X} {\frac {dz}{dt}}+\mathrm {Y} {\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}=\mathrm {Z} ,$

laquelle n’est intégrable que dans quelques cas particuliers, et ainsi de suite.

10. Au reste, si l’on ne connaissait pas d’avance les valeurs particulières de $y$ dans le cas de $\mathrm {T} =0,$ il vaudrait mieux chercher directement les valeurs de $z$ par la résolution de l’équation (B), laquelle n’est guère plus compliquée que l’équation (D).

11. Soit l’équation

$\mathrm {L} y+\mathrm {M} {\frac {dy}{dt}}+\mathrm {N} {\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}=\mathrm {T} ,$

pour laquelle on connaît deux valeurs particulières de $y$ dans le cas de $\mathrm {T} =0.$

On aura d’abord l’équation en $z$ (3)

$z\left[\left(\mathrm {M} -{\frac {d\mathrm {N} }{dt}}\right)y+\mathrm {N} {\frac {dy}{dt}}\right]-{\frac {dz}{dt}}\mathrm {N} y=\mathrm {const} .\,;$

donc, supposant que $y_{1}$ et $y_{2}$ soient les deux valeurs de $y$ qui satisfont à l’équation

$\mathrm {L} y+\mathrm {M} {\frac {dy}{dt}}+\mathrm {N} {\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}=0,$

on aura

${\begin{aligned}z\left[\left(\mathrm {M} -{\frac {d\mathrm {N} }{dt}}\right)y_{1}+\mathrm {N} {\frac {dy_{1}}{dt}}\right]-{\frac {dz}{dt}}\mathrm {N} y_{1}=&\mathrm {A} ,\\z\left[\left(\mathrm {M} -{\frac {d\mathrm {N} }{dt}}\right)y_{2}+\mathrm {N} {\frac {dy_{2}}{dt}}\right]-{\frac {dz}{dt}}\mathrm {N} y_{2}=&\mathrm {B} ,\end{aligned}}$

$\mathrm {A}$ et $\mathrm {B}$ étant deux constantes arbitraires.