4. Donc, si l’on peut trouver une valeur de qui satisfasse à l’équation (D), on aura l’intégrale première de l’équation (B) ; si l’on a deux valeurs différentes de qui satisfassent à la même équation (D), on aura l’intégrale seconde de l’équation (B), et ainsi de suite ; de sorte que, si l’on connaissait un nombre de valeurs de égal à celui de l’exposant de l’équation (B), on pourrait trouver (2) l’intégrale finie et algébrique de cette même équation.
5. Cette dernière intégrale contiendra, comme on voit, autant de constantes arbitraires qu’il y a d’unités dans l’exposant de l’ordre de l’équation différentielle (B) ; car les équations (E), d’où elle résulte, contiennent chacune une constante arbitraire. Donc, si l’on fait successivement toutes ces constantes, moins une, égales à zéro, on aura autant d’intégrales particulières, et par conséquent autant de valeurs différentes de ; qu’il y a d’unités dans l’exposant de l’ordre de l’équation (B) ; or il est facile de voir que cette équation est du même ordre que l’équation (A) (1) ; donc on trouvera aussi l’intégrale finie et algébrique de cette dernière équation (2).
6. Donc l’équation (A), savoir
sera intégrable algébriquement toutes les fois qu’on aura valeurs de en dans le cas de étant l’exposant de l’ordre de cette équation.
7. Si l’on ne connaissait que valeurs de dans le cas de on pourrait néanmoins trouver l’intégrale algébrique de l’équation (A), car on aurait dans ce cas équations (E) ; d’où, éliminant les plus hautes différences de on parviendrait à une équation de cette forme et étant des fonctions de laquelle donnerait
donc, etc.
