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élevé d’une unité que la proposée ; par intégrale seconde, une équation qui est d’un ordre moins élevé de deux unités, et ainsi de suite) ; 3^o de même, si l’on avait trois valeurs différentes de $z,$ on trouverait trois équations intégrales ; d’où, éliminant les deux plus hautes différentielles de $y,$ on aurait une équation qui serait l’intégrale troisième de la proposée, et ainsi de suite. D’où il est aisé de conclure, qu’en connaissant un nombre de valeurs de $z$ égal à celui de l’exposant de l’ordre de l’équation (A), on pourra trouver l’intégrale finie et algébrique de cette même équation.

3. Qu’on multiplie l’équation (B) par $ydt,$ et qu’on en prenne l’intégrale, en faisant disparaître de dessous le signe $\int$ toutes les différences de $z,$ par des intégrations par parties, comme nous l’avons pratiqué sur l’équation (A), on aura, en changeant les signes,

${\begin{aligned}y&\left(\mathrm {M} z-{\frac {d\mathrm {N} z}{dt}}+{\frac {d^{2}\mathrm {P} z}{dt^{2}}}-\ldots \right)\\&+{\frac {dy}{dt}}\left(\mathrm {N} z-{\frac {d\mathrm {P} z}{dt}}+\ldots \right)+{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}(\mathrm {P} z-\ldots )+\ldots \\&-\int \left(\mathrm {L} y+\mathrm {M} {\frac {dy}{dt}}+\mathrm {N} {\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+\mathrm {P} {\frac {d^{3}y}{dt^{3}}}+\ldots \right)zdt=\mathrm {const} .\end{aligned}}$

Donc, si l’on fait

(D)

$\mathrm {L} y+\mathrm {M} {\frac {dy}{dt}}+\mathrm {N} {\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+\mathrm {P} {\frac {d^{3}y}{dt^{3}}}+\ldots =0,$

et qu’on ordonne l’équation restante par rapport à $z,$ on aura

(E)

$\left\{{\begin{aligned}z\left[\left(\mathrm {M} -{\frac {d\mathrm {N} }{dt}}+{\frac {d^{2}\mathrm {P} }{dt^{2}}}-\ldots \right)y+\left(N-{\frac {d\mathrm {P} }{dt}}+\ldots \right){\frac {dy}{dt}}\right.\quad &\\\left.+(\mathrm {P} -\ldots ){\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+\ldots \right]&\\-{\frac {dz}{dt}}\left[\left(\mathrm {N} -2{\frac {d\mathrm {P} }{dt}}+\ldots \right)y+(\mathrm {P} -\ldots ){\frac {dy}{dt}}+\ldots \right]&\\+{\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}\left[(\mathrm {P} -\ldots )y+\ldots \right]-\ldots &=\mathrm {const} .\end{aligned}}\right.$