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par conséquent,

${\frac {\cfrac {d\mathrm {D} }{dt}}{\mathrm {D} }}+{\frac {\cfrac {d\mathrm {K} }{dt}}{\mathrm {K} }}=0,$

d’où l’on tire

$\log \mathrm {D} +\log \mathrm {K} =\mathrm {const} .,$

savoir :

$\mathrm {DK} =h\quad {\text{et}}\quad \mathrm {D} ={\frac {h}{\mathrm {K} }}.$

Pour déterminer la constante $h,$ on remarquera qu’au commencement du mouvement

$dx=d\mathrm {X} ,\qquad dy=d\mathrm {Y} ,\qquad dz=d\mathrm {Z} \,;$

donc

$\mathrm {L=1,\ M=0,\ N=0,\ P=0,\ Q=1,\ R=0,\ S=0,\ T=0,\ U=1} ,$

ce qui donne $K=1$ ; d’où il s’ensuit que $h$ doit être égale à la densité $\mathrm {D}$ que le fluide a au premier instant de son mouvement.

Ayant trouvé l’expression de $\mathrm {D} ,$ il n’y aura plus qu’à la substituer dans les équations $(p)\,;$ or, $\mathrm {D}$ étant une fonction de $\mathrm {X,Y,Z} ,t,$ sa différentielle, en prenant $t$ constant, sera représentée par

$\mathrm {E} d\mathrm {X+Y} d\mathrm {Y+G} d\mathrm {Z} \,;$

ainsi, pour avoir les valeurs de ${\frac {d\mathrm {D} }{dx}},{\frac {d\mathrm {D} }{dy}},{\frac {d\mathrm {D} }{dz}},$ il faudra encore substituer au lieu de $d\mathrm {X} ,d\mathrm {Y} ,d\mathrm {Z}$ leurs expressions en $\operatorname {d} x,\operatorname {d} y,\operatorname {d} z$ trouvées dans l’Article XLIV ce qui, en supposant

${\begin{aligned}&\mathrm {E(QU-RT)\,+F(RS-PU)+G(PT-QS)\ =A} ,\\&\mathrm {E(NT-MU)+F(LU-NS)+G(MS-LT)\ =B} ,\\&\mathrm {E(MR-NQ)+F(NP-LR)+G(LQ-MP)=C} ,\end{aligned}}$

donnera

$d\mathrm {D} ={\frac {\mathrm {A} \operatorname {d} x+\mathrm {B} \operatorname {d} y+\mathrm {C} \operatorname {d} z}{\mathrm {K} }},$

d’où l’on tire

${\frac {\operatorname {d} \mathrm {D} }{\operatorname {d} x}}=\mathrm {\frac {A}{K}} ,\qquad {\frac {\operatorname {d} \mathrm {D} }{\operatorname {d} y}}=\mathrm {\frac {B}{K}} ,\qquad {\frac {\operatorname {d} \mathrm {D} }{\operatorname {d} z}}=\mathrm {\frac {C}{K}} ,$