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on mettra ces valeurs dans l’équation ci-dessus, et changeant les lettres $\operatorname {d}$ en $d$ et multipliant le tout par $\mathrm {D} ,$ on aura

${\frac {d\mathrm {D} }{dt}}+\alpha {\frac {d\mathrm {D} }{dx}}+\beta {\frac {d\mathrm {D} }{dy}}+\gamma {\frac {d\mathrm {D} }{dz}}+\mathrm {D} \left({\frac {d\alpha }{dx}}+{\frac {d\beta }{dy}}+{\frac {d\gamma }{dz}}\right)=0,$

ou

${\frac {d\mathrm {D} }{dt}}+{\frac {d(\mathrm {D} \alpha )}{dx}}+{\frac {d(\mathrm {D} \beta )}{dy}}+{\frac {d(\mathrm {D} \gamma )}{dz}}=0,$

équation par laquelle on connaîtra $\mathrm {D} ,$ et par conséquent $\mathrm {F} .$

L.

Corollaire II. — Soit, suivant l’hypothèse ordinaire, $\mathrm {F=D} ,$ par conséquent $\mathrm {E} =1,$ et qu’on mette les équations $(r)$ sous cette forme :

$\mathrm {L} =-{\frac {1}{\mathrm {D} }}{\frac {d\mathrm {F} }{dx}},\qquad \mathrm {M} =-{\frac {1}{\mathrm {D} }}{\frac {d\mathrm {F} }{dy}},\qquad \mathrm {N} =-{\frac {1}{\mathrm {D} }}{\frac {d\mathrm {F} }{dz}},$

on aura

$\mathrm {L} =-{\frac {1}{\mathrm {D} }}{\frac {d\mathrm {D} }{dx}},\qquad \mathrm {M} =-{\frac {1}{\mathrm {D} }}{\frac {d\mathrm {D} }{dy}},\qquad \mathrm {N} =-{\frac {1}{\mathrm {D} }}{\frac {d\mathrm {D} }{dz}}.$

Supposons encore

${\frac {d\alpha }{dx}}+{\frac {d\beta }{dy}}+{\frac {d\gamma }{dz}}=\mathrm {U} ,$

on aura (Article précédent) l’équation

${\frac {d\mathrm {D} }{dt}}+\alpha {\frac {d\mathrm {D} }{dx}}+\beta {\frac {d\mathrm {D} }{dy}}+\gamma {\frac {d\mathrm {D} }{dz}}+\mathrm {DU} =0\,;$

donc, chassant les quantités ${\frac {d\mathrm {D} }{dx}},{\frac {d\mathrm {D} }{dy}},{\frac {d\mathrm {D} }{dz}}$ par le moyen des équations précédentes, divisant par $\mathrm {D} ,$ et transposant, on aura

${\frac {\cfrac {d\mathrm {D} }{dt}}{\mathrm {D} }}={\frac {d\log \mathrm {D} }{dt}}=\alpha \mathrm {L} +b\mathrm {M} +\gamma \mathrm {N} -\mathrm {U} ,$

ou, pour abréger,

${\frac {d\log \mathrm {D} }{dt}}=\mathrm {T} .$