Page:Lagrange - Œuvres (1867) vol. 1.djvu/509

Or ${\frac {\operatorname {d} {\cfrac {d\alpha }{dt}}}{\operatorname {d} y}}$ exprime, comme on sait, le coefficient qu’aurait $y$ dans la différentiation de ${\frac {d\alpha }{dt}},$ supposé que $\alpha$ fût exprimée par une fonction de $x,y,z,t\,;$ et ainsi des autres expressions semblables. Donc, puisque les quantités $\alpha ,\beta ,\gamma$ sont, par hypothèse, des fonctions de $\mathrm {X,Y,Z} ,$ il faudra substituer dans $\alpha ,\beta ,\gamma ,$ à la place des variables $\mathrm {X,Y,Z} ,$ leurs valeurs en $x,y,z,$ et différentier ensuite en prenant $x,y,z$ pour variables, ou bien, ce qui revient au même, différentier d’abord les quantités $\alpha ,\beta ,\gamma ,$ en faisant varier $\mathrm {X,Y,Z} ,$ et substituer ensuite au lieu de $d\mathrm {X} ,d\mathrm {Y} ,d\mathrm {Z}$ leurs valeurs en $\operatorname {d} x,\operatorname {d} y,\operatorname {d} z.$

Des expressions de $\operatorname {d} x,\operatorname {d} y,\operatorname {d} z,$ données ci-dessus, on tire par les règles communes de l’Algèbre

${\begin{aligned}d\mathrm {X} =&{\frac {(\mathrm {QU-RT} )\operatorname {d} x+(\mathrm {NT-MU} )\operatorname {d} y+(\mathrm {MR-NQ} )\operatorname {d} z}{\mathrm {K} }},\\d\mathrm {Y} =&{\frac {(\mathrm {RS-PU} )\operatorname {d} x+(\mathrm {LU-NS} )\operatorname {d} y+(\mathrm {NP-LR} )\operatorname {d} z}{\mathrm {K} }},\\d\mathrm {Z} =&{\frac {(\mathrm {PT-QS} )\operatorname {d} x+(\mathrm {MS-LT} )\operatorname {d} y+(\mathrm {LQ-MP} )\operatorname {d} z}{\mathrm {K} }},\end{aligned}}$

$\mathrm {K}$ étant mis, pour abréger, au lieu de

$\mathrm {LQU-MPU+MRS-NQS+NPT-LRT} .$

Or $d\alpha$ est la différence de $\alpha ,$ qui nait des différences $\operatorname {d} x,\operatorname {d} y,\operatorname {d} z,$ ou bien des différences $d\mathrm {X} ,d\mathrm {Y} ,d\mathrm {Z} \,;$ donc on aura en général

$\operatorname {d} \alpha ={\frac {d\alpha }{d\mathrm {X} }}d\mathrm {X} +{\frac {d\alpha }{d\mathrm {Y} }}d\mathrm {Y} +{\frac {d\alpha }{d\mathrm {Z} }}d\mathrm {Z} \,;$

on aura de plus, à cause que la différence de $x$ est une différentielle complète,

${\frac {d\alpha }{d\mathrm {X} }}={\frac {d\mathrm {L} }{dt}},\qquad {\frac {d\alpha }{d\mathrm {Y} }}={\frac {d\mathrm {M} }{dt}},\qquad {\frac {d\alpha }{d\mathrm {Z} }}={\frac {d\mathrm {N} }{dt}}\,;$

donc

$\operatorname {d} \alpha ={\frac {d\mathrm {L} }{dt}}d\mathrm {X} +{\frac {d\mathrm {M} }{dt}}d\mathrm {Y} +{\frac {d\mathrm {N} }{dt}}d\mathrm {Z} \,;$