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que les rapports des vitesses \alpha,\beta,\gamma soient indépendants du temps $t.$ M. d’Alembert a fait aussi cette remarque dans l’Article X de son Mémoire cité ci-dessus ; mais il trouve, par ses formules, que le cas dont il s’agit est celui où

$\theta =ac',$

au lieu que, suivant les nôtres, ce cas est celui où

$\theta ={\frac {1}{a-bt}}.$

Or cette différence vient d’une légère méprise qui s’est glissée dans les calculs de M. d’Alembert, mais qui n’influe d’ailleurs en rien sur le reste de ses ingénieuses recherches.

Pour faire sentir la vérité de ce que nous avançons ici, examinons les équations que M. d’Alembert donne dans l’Article I du Mémoire cité pour les fluides pesants qui se meuvent dans un plan. Ces équations sont :

1^o$\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad {\frac {dp}{dz}}=-{\frac {dq}{dx}},$

2^o$\qquad \qquad {\frac {d(g-\mathrm {B} \theta p-\mathrm {A} \theta q-q\mathrm {T} )}{dz}}={\frac {d(-\theta q\mathrm {A} -\theta p\mathrm {B} '-p\mathrm {T} )}{dx}}$

$g$ est la gravité, $\theta$ est une fonction quelconque de $t$ comme ci-dessus ; $\theta q,\theta p$ expriment les vitesses que nous avons nommées $\alpha$ et $\gamma ,$ et les quantités $\mathrm {A,B,A',B',T}$ sont telles, que

$d(\theta q)=q\mathrm {T} dt+\theta \mathrm {A} dx+\theta \mathrm {B} dz,\qquad d(\theta p)=p\mathrm {T} dt+\theta \mathrm {A} 'dx+\theta \mathrm {B} 'dz.$

La première de ces équations résulte de l’incompressibilité des particules du fluide, et revient par conséquent au même que l’équation $(i)$ ci-dessus en y faisant $\beta =0.$ À l’égard de la seconde, l’Auteur la tire de cette considération, que les forces verticales et horizontales, perdues à chaque instant par les particules du fluide, doivent se faire équilibre ; ces forces sont, selon lui,

$g-\mathrm {B} \theta p-\mathrm {A} \theta q-q\mathrm {T} ,\qquad -\theta q\mathrm {A} '-\theta p\mathrm {B} '-p\mathrm {T} ,$