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tions quelconques, ou bien par des forces $\Pi ,\varpi ,\Psi$ dirigées suivant les lignes $x,y,z\,;$ comme il est aisé de le voir en examinant les valeurs de ces quantités $\Pi ,\varpi ,\Psi$ (Article I).

Pour mieux connaître les équations dont il s’agit, exprimons par $\alpha ,\beta ,\gamma$ les vitesses de chaque particule du fluide parallèlement aux coordonnées $x,y,z,$ c’est-à-dire les valeurs de ${\frac {dx}{dt}},{\frac {dy}{dt}},{\frac {dz}{dt}}\,:$ on aura, en divisant par $dt.$

$(h)\qquad \qquad \left\{{\begin{aligned}\operatorname {d} {\frac {\left(\mathrm {D} {\cfrac {d\alpha }{dt}}\right)}{\operatorname {d} y}}+{\frac {\operatorname {d} (\mathrm {D} \Pi )}{\operatorname {d} y}}=&\operatorname {d} {\frac {\left(\mathrm {D} {\cfrac {d\beta }{dt}}\right)}{\operatorname {d} x}}+{\frac {\operatorname {d} (\mathrm {D} \varpi )}{\operatorname {d} x}},\\\operatorname {d} {\frac {\left(\mathrm {D} {\cfrac {d\alpha }{dt}}\right)}{\operatorname {d} z}}+{\frac {\operatorname {d} (\mathrm {D} \Pi )}{\operatorname {d} z}}=&\operatorname {d} {\frac {\left(\mathrm {D} {\cfrac {d\gamma }{dt}}\right)}{\operatorname {d} x}}+{\frac {\operatorname {d} (\mathrm {D} \Psi )}{\operatorname {d} x}},\end{aligned}}\right.$

$(i)\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad {\frac {\operatorname {d} \alpha }{\operatorname {d} x}}+{\frac {\operatorname {d} \beta }{\operatorname {d} y}}+{\frac {\operatorname {d} \gamma }{\operatorname {d} z}}=0.$

On voit par ces équations que les quantités $\alpha ,\beta ,\gamma$ sont nécessairement des fonctions des variables $x,y,z$ qui déterminent la position des particules à chaque instant, et du temps écoulé depuis le commencement du mouvement ; or, dans l’instant $dt,$ il est clair que les variables $x,y,z$ deviennent $x+\alpha dt,$$y+\beta dt,\ z+\gamma dt\,;$ donc les variations des quantités $\alpha ,\beta ,\gamma$ dans cet instant ne seront pas seulement ${\frac {d\alpha }{dt}}dt,{\frac {d\beta }{dt}}dt,{\frac {d\gamma }{dt}}dt,$ mais

${\begin{aligned}{\frac {d\alpha }{dt}}dt+{\frac {d\alpha }{dx}}\alpha dt+&{\frac {d\alpha }{dy}}\beta dt+{\frac {d\alpha }{dz}}\gamma dt,\\{\frac {d\beta }{dt}}dt+{\frac {d\beta }{dx}}\alpha dt+&{\frac {d\beta }{dy}}\beta dt+{\frac {d\beta }{dz}}\gamma dt,\\{\frac {d\gamma }{dt}}dt+{\frac {d\gamma }{dx}}\alpha dt+&{\frac {d\gamma }{dy}}\beta dt+{\frac {d\gamma }{dz}}\gamma dt,\end{aligned}}$

et telles seront les valeurs de $d\alpha ,d\beta ,d\gamma \,;$ donc, si on substitue ces valeurs dans les équations $(h),$ et qu’on suppose pour plus de simplicité les forces $\Pi ,\varpi ,\Psi$ nulles ou telles que

${\frac {\operatorname {d} (\mathrm {D} \Pi )}{\operatorname {d} y}}={\frac {\operatorname {d} (\mathrm {D} \varpi )}{\operatorname {d} x}},\qquad {\frac {\operatorname {d} (\mathrm {D} \Pi )}{\operatorname {d} z}}={\frac {\operatorname {d} (\mathrm {D} \Psi )}{\operatorname {d} x}},$