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savoir

$d\mathrm {Z} =md\mathrm {X} +nd\mathrm {Y} +(q'+nr')d\mathrm {P} +\ldots$

Mais si l’on supposait que le point qui répond aux coordonnées $p',q',r'$ fût fixement attaché, alors on ferait

$\delta \mathrm {X} +dp'=0,\qquad d\mathrm {Y} +dq'=0,\qquad d\mathrm {Z} +dr'=0,$

ce qui donnerait, en mettant au lieu de $dp',dq',dr'$ leurs valeurs,

$d\mathrm {X} =-r'd\mathrm {Q} -q'd\mathrm {R} ,\qquad d\mathrm {Y} =-r'd\mathrm {P} +p'd\mathrm {R} ,\qquad d\mathrm {Z} =q'd\mathrm {P} +p'd\mathrm {Q} \,;$

on aurait par la même raison

$\delta \mathrm {X} =-r'\delta \mathrm {Q} -q'\delta \mathrm {R} ,\qquad \delta \mathrm {Y} =-r'\delta \mathrm {P} +p'\delta \mathrm {R} ,\qquad \delta \mathrm {Z} =q'\delta \mathrm {P} +p'\delta \mathrm {Q} ,$

et, ces valeurs substituées dans l’équation (S), on trouverait, en faisant les coefficients de $\delta \mathrm {P} ,\delta \mathrm {Q} ,\delta \mathrm {R}$ chacun égal à zéro, les trois équations

${\begin{aligned}-r'[\mathrm {Y} ]+q'\mathrm {[Z]+[P]} =0,\\-r'[\mathrm {X} ]+q'\mathrm {[Z]+[Q]} =0,-q'[\mathrm {X} ]+p'\mathrm {[Y]+[R]} =0.\end{aligned}}$

XXXVIII.

Corollaire III. — Imaginons que le corps soit posé sur un plan ou sur une surface quelconque le long de laquelle il puisse glisser librement, en tournant sur lui-même d’une manière quelconque ; soient $p',q',r'$ les coordonnées de la superficie du corps, et

$dr'=\mathrm {M} dp'+\mathrm {N} dq'$

son équation différentielle, il est clair :

1^o Que tandis que le corps a ses divers mouvements $d\mathrm {X} ,d\mathrm {Y} ,d\mathrm {Z} ,$$d\mathrm {P} ,d\mathrm {Q} ,d\mathrm {R} ,$ chaque point de sa surface parcourt les espaces

$d\mathrm {X} +r'd\mathrm {Q} +q'd\mathrm {R} ,\qquad d\mathrm {Y} +r'd\mathrm {P} -p'd\mathrm {R} ,\qquad d\mathrm {Z} -q'd\mathrm {P} -p'd\mathrm {Q}$

dans la direction des coordonnées $\mathrm {X,Y,Z} \,;$