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Si les forces $\Pi ,\varpi \Psi$ sont nulles, ou constantes, ou bien si elles sont proportionnelles à $p,q,r,$ on a

$\mathrm {S} \varpi rdm-\mathrm {S} \Psi qdm=0,\ \ \mathrm {S} \Pi rdm-\mathrm {S} \Psi pdm=0,\ \ \mathrm {S} \Pi qdm-\mathrm {S} \varpi pdm=0\,;$

par conséquent,

${\frac {d\mathrm {P} ^{2}}{dt^{2}}}=c^{2},$

c’est-à-dire que le mouvement de rotation est uniforme, et les équations précédentes se réduisent à

$\mathrm {B} c^{2}\cos(\alpha +\mathrm {P} )=0,\qquad \mathrm {B} c^{2}\sin(\alpha +\mathrm {P} )=0,$

ce qui donne $\mathrm {B} =0\,;$ on aura donc

${\sqrt {(\mathrm {S} pq\,dm)^{2}+(\mathrm {S} pr\,dm)^{2}}}=0,$

ce qui ne peut arriver, à moins que l’on n’ait $\mathrm {S} pq\,dm=0,\ \mathrm {S} pr\,dm=0.$ Voilà donc les conditions par lesquelles on déterminera la position de l’axe de rotation au dedans du corps. Il est clair que ces conditions sont suffisantes pour une telle détermination, puisqu’on sait que la position d’une droite qui passe par un point donné ne dépend que de deux variables.

Soient maintenant

$d\mathrm {P} =0,\quad d\mathrm {R} =0\quad {\text{ou}}\quad d\mathrm {P} =0,\quad d\mathrm {Q} =0,$

dans les équations

$\mathrm {[P]=0,\quad [Q]=0,\quad [R]=0} \,;$

on trouvera, par des procédés semblables à ceux que nous venons de pratiquer, les conditions de la rotation du corps autour de deux autres axes.

Dans la supposition de

$\mathrm {S} \varpi rdm-\mathrm {S} \Psi qdm=0,\ \ \mathrm {S} \Pi rdm-\mathrm {S} \Psi pdm=0,\ \ \mathrm {S} \Pi qdm-\mathrm {S} \varpi pdm=0,$