Page:Lagrange - Œuvres (1867) vol. 1.djvu/482

Ce sont ces équations qui serviront à déterminer les valeurs générales des quantités $\mathrm {S} p^{2}dm,\mathrm {S} q^{2}dm,\mathrm {S} r^{2}dm,\mathrm {S} pqdm,\mathrm {S} prdm,\mathrm {S} qrdm$ qui entrent dans les expressions $\mathrm {[X],[Y]} ,\ldots$ de l’équation (S) ; mais c’est de quoi il ne paraît pas facile de venir à bout, à cause de la difficulté d’intégrer ces sortes d’équations.

XXXVI.

Corollaire I. — Or, si le corps est entièrement libre, en sorte que les différences $\delta x,\delta y,\delta z,\delta \mathrm {P} ,\delta \mathrm {Q} ,\delta \mathrm {R}$ n’aient entre elles aucun rapport déterminé, il faut, pour vérifier l’équation (S), faire les coefficients de ces différences chacun en particulier égal à zéro, ce qui donne les six équations $\mathrm {[X]=0,[Y]=0} ,$$\mathrm {[Z]=0,[P]=0,[Q]=0,[R]} =0,$ par où l’on peut connaître le mouvement du corps à chaque instant. Si l’on fait dans ces équations $\mathrm {S} pdm=0,$$\mathrm {S} qdm=0,\ \mathrm {S} rdm=0,$ selon l’hypothèse de l’Article précédent, les trois premières deviendront celles-ci :

${\begin{aligned}\mathrm {M} d{\frac {d\mathrm {X} }{dt}}+\mathrm {S} \Pi dm\,dt=&0,\\\mathrm {M} d{\frac {d\mathrm {Y} }{dt}}+\mathrm {S} \varpi dm\,dt=&0,\\\mathrm {M} d{\frac {d\mathrm {Z} }{dt}}+\mathrm {S} \Psi dm\,dt=&0,\\\end{aligned}}$

lesquelles montrent que le centre de gravité du corps se meut de la même manière que si toute la masse du corps était réunie dans ce centre.

Les trois autres équations ne contiendront que les variables $d\mathrm {P} ,d\mathrm {Q} ,d\mathrm {R}$ d’où dépend le mouvement de rotation du corps autour du centre de gravité ; ainsi ce mouvement sera tout à fait indépendant de celui du centre de gravité.

Imaginons que le corps ne tourne qu’autour d’un seul axe, on supposera, dans les équations $\mathrm {[P]=0,[Q]=0,[R]=0} ,$ deux quelconques des trois variables $d\mathrm {P} ,d\mathrm {Q} ,d\mathrm {R}$ égales à zéro. Soient d’abord $d\mathrm {Q} ,d\mathrm {R}$