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$\delta z$ dans l’autre expression $\left[\mathrm {S} dm\left(d{\tfrac {dx}{dt}}+\Pi dt\right)\mathrm {S} \left({\tfrac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}\operatorname {d} \delta y+{\tfrac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} x}}\operatorname {d} \delta z\right)\right]$ c’est de quoi l’on viendra aisément à bout par la méthode de l’Article IX du Mémoire précédent. Suivant cette méthode, on trouvera que, si $\mathrm {T} dt$ représente, comme ci-devant, la valeur totale de l’intégrale

$\mathrm {S} dm\left(d{\frac {dx}{dt}}+\Pi dt\right),$

et qu’on fasse, pour abréger,

$\mathrm {T} dt-\mathrm {S} dm\left(d{\frac {dx}{dt}}+\Pi dt\right)=\mathrm {U} dt,$

on aura

$\mathrm {S} dm\left(d{\frac {dx}{dt}}+\Pi dt\right)\mathrm {S} {\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}\operatorname {d} \delta y={\frac {\mathrm {U} dt\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}\delta y-\mathrm {S} \operatorname {d} {\frac {\mathrm {U} dt\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}\delta y,$

et de même

$\mathrm {S} dm\left(d{\frac {dx}{dt}}+\Pi dt\right)\mathrm {S} {\frac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} x}}\operatorname {d} \delta z={\frac {\mathrm {U} dt\operatorname {d} z}{\operatorname {d} x}}\delta z-\mathrm {S} \operatorname {d} {\frac {\mathrm {U} dt\operatorname {d} z}{\operatorname {d} x}}\delta z,$

où les termes qui se trouvent hors du signe d’intégration $\mathrm {S}$ doivent être pris avec les conditions énoncées à la fin de l’Article I du Mémoire précédent ; or la valeur de $\mathrm {U} dt$ qui répond au dernier point du fil est nulle, parce que $\mathrm {S} dm\left(d{\frac {dx}{dt}}+\Pi dt\right)$ devient alors égal à $\mathrm {T} dt,$ et, pour le premier point, cette valeur est égale à $\mathrm {T} dt,$ parce que $\mathrm {S} dm\left(d{\frac {dx}{dt}}+\Pi dt\right)$ est égal à zéro ; donc, si l’on marque par ${\grave {\,}}\!x,{\grave {\,}}\!y,{\grave {\,}}\!z$ les coordonnées qui répondent à ce point, on aura $-{\frac {\mathrm {T} dt\operatorname {d} {\grave {\,}}\!y}{\operatorname {d} {\grave {\,}}\!x}}\delta y,$ pour la valeur exacte du terme ${\frac {\mathrm {U} dt\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}\delta y,$ et $-{\frac {\mathrm {T} dt\operatorname {d} {\grave {\,}}\!z}{\operatorname {d} {\grave {\,}}\!x}}\delta z$ pour celle de l’autre terme ${\frac {\mathrm {U} dt\operatorname {d} z}{\operatorname {d} x}}\delta z.$ Par ces substitutions, on aura donc

$\left[\mathrm {S} dm\left(d{\frac {dx}{dt}}+\Pi dt\right)\mathrm {S} \left({\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}\operatorname {d} \delta y+{\frac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} x}}\operatorname {d} \delta z\right)\right]$

$=-\mathrm {T} dt\left(\delta \,{\grave {\,}}\!x+{\frac {\operatorname {d} {\grave {\,}}\!y}{\operatorname {d} {\grave {\,}}\!x}}\delta {\grave {\,}}\!y+{\frac {\operatorname {d} {\grave {\,}}\!z}{\operatorname {d} {\grave {\,}}\!x}}\delta {\grave {\,}}\!z\right)-\mathrm {S} \left(d{\frac {\mathrm {U} dt\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}\delta y+\operatorname {d} {\frac {\mathrm {U} dt\operatorname {d} z}{\operatorname {d} x}}\delta z\right),$