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rectangles $x,y,z,$ comme dans le Problème I, on aura aussi

$\delta ds={\frac {1}{ds}}(dxd\delta x+dyd\delta y+dzd\delta z)$

et

$\int u\delta ds=-\int \left(d{\frac {dx}{dt}}\delta x+d{\frac {dy}{dt}}\delta y+d{\frac {dz}{dt}}\delta z\right),$

en mettant $dt$ pour ${\frac {ds}{u}}\,;$ donc l’intégrale $\mathrm {S} dm\int u\delta ds$ deviendra

$-\int \mathrm {S} dm\left(d{\frac {dx}{dt}}\delta x+d{\frac {dy}{dt}}\delta y+d{\frac {dz}{dt}}\delta z\right),$

en transposant les signes $\mathrm {S} ,\ \int ,$ ce qui est évidemment permis.

On changera aussi par la même transposition des signes la formule $\mathrm {S} dm\int u\delta u\,dt$ en $\int \mathrm {S} dm\,u\delta u\,dt,$ et l’on aura l’équation

(K)

$\int \mathrm {S} dm\left(u\delta u\,dt-d{\frac {dx}{dt}}\delta x-d{\frac {dy}{dt}}\delta y-d{\frac {dz}{dt}}\delta z\right)=0.$

Il s’agit maintenant de trouver la valeur de $\mathrm {S} dm\,u\delta u\,dt.$ Or il n’est pas difficile de voir que l’équation (U) de l’Article VIII appliquée à la question présente donne

$\mathrm {S} dm\,u\delta u=-\mathrm {S} dm(\mathrm {P} \delta p+\mathrm {Q} \delta q+\mathrm {R} \delta r+\ldots ).$

On aura donc, en multipliant par $dt$ dont la valeur est la même pour tous les éléments du fil,

$\mathrm {S} dm\,u\delta u\,dt=-\mathrm {S} dm(\mathrm {P} \delta p+\mathrm {Q} \delta q+\mathrm {R} \delta r+\ldots )dt,$

ou bien en mettant, selon les suppositions de l’Art. I, $\Pi \delta x+\varpi \delta y+\Psi \delta z$ au lieu de $\mathrm {P} \delta p+\mathrm {Q} \delta q+\mathrm {R} \delta r+\ldots ,$

(X)

$\mathrm {S} dm\,u\delta u\,dt=-\mathrm {S} dm(\Pi dt\delta x+\varpi dt\delta y+\Psi dt\delta z).$

Cette valeur substituée dans l’équation (K), il viendra

(L)

$-\int \mathrm {S} dm\left[\left(d{\frac {dx}{dt}}+\Pi dt\right)\delta x+\left(d{\frac {dy}{dt}}+\varpi dt\right)\delta y+\left(d{\frac {dz}{dt}}+\Psi dt\right)\delta z\right]=0.$