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du fil qui répond à l’abscisse $x\,;$ par conséquent, si la longueur totale du fil est $l,$ on aura $\mathrm {T=P} l,$ et les deux premières équations deviendront celles-ci, beaucoup plus simples,

${\begin{aligned}ds\left(d{\frac {dy}{dt}}+{\frac {dy}{dx}}\mathrm {P} dt\right)-\mathrm {P} dtd{\frac {dy}{dx}}(l-s)=&0,\\ds\left(d{\frac {dz}{dt}}+{\frac {dz}{dx}}\mathrm {P} dt\right)-\mathrm {P} dtd{\frac {dz}{dx}}(l-s)=&0\,;\end{aligned}}$

la troisième sera inutile.

XXVI.

Scolie. — Si les fils $f,f',f'',\ldots ,$ qui joignent les corps $\mathrm {M,M',M''} ,\ldots ,$ étaient extensibles et élastiques, on aurait alors les équations

${\begin{aligned}f\ \ \delta f\ \ =&x\delta x+y\delta y+z\delta z,\\f'\ \delta f'\ =&(x'-x)(\delta x'-\delta x)+(y'-y)(\delta y'-\delta y)+(z'-z)(\delta z'-\delta z),\\f''\delta f''=&(x''-x')(\delta x''-\delta x')+(y''-y')(\delta y''-\delta y')+(z''-z')(\delta z''-\delta z'),\end{aligned}}$

et ainsi de suite.

On trouvera de plus, en appelant $\mathrm {F,F',F''} ,\ldots$ les forces d’élasticité ou de contraction des fils $f,f',f'',\ldots ,$ que l’équation (U) deviendra

$\mathrm {M} u\delta u+\mathrm {M} 'u'\delta u'+\mathrm {M} ''u''\delta u''+\ldots$

$=\mathrm {P} \left(\mathrm {M} \delta x+\mathrm {M} '\delta x'+\mathrm {M} ''\delta x''+\ldots \right)-\mathrm {F} \delta f-\mathrm {F} '\delta f'-\mathrm {F} '''\delta f''-\ldots ,$

comme il est facile de s’en assurer en appliquant le principe de la conservation des forces vives au cas dont il s’agit ici.

On mettra donc, dans cette expression de

$\mathrm {M} u\delta u+\mathrm {M} 'u'\delta u'+\mathrm {M} ''u''\delta u''+\ldots$

au lieu de $\delta f,\delta f',\delta f'',\ldots ,$ les valeurs qu’on vient de trouver, et on la substituera ensuite dans l’équation (E) de l’Article IX ; ce qui donnera, après avoir ordonné les termes et mis $dt$ à la place de ${\frac {ds}{u}},{\frac {ds'}{u}},{\frac {ds''}{u}},\ldots .$