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gnée par $\mathrm {T} dt$ la somme des valeurs de $dm\left(\mathrm {P} dt-d{\frac {dx}{dt}}\right)$ pour toute la longueur du fil, et la somme indéfinie des mêmes valeurs prise relativement à l’abscisse $x,$ marquée par la lettre $\mathrm {S} ,$ de cette manière

$\mathrm {S} dm\left(\mathrm {P} dt-d{\frac {dx}{dt}}\right)\,;$

il est facile de voir que les équations $[y]=0,\ [y']=0,\ [y'']=0,\ldots$ se réduiront toujours à celle-ci générale :

$dm\left[d{\frac {dy}{dt}}+{\frac {dy}{dx}}\left(\mathrm {P} dt-d{\frac {dx}{dt}}\right)\right]-d{\frac {dy}{dx}}\left[\mathrm {T} dt-\mathrm {S} dm\left(\mathrm {P} dt-d{\frac {dx}{dt}}\right)\right]=0\,;$

que de même les équations $[z]=0,\ [z']=0,\ [z'']=0,\ldots$ se changeront en

$dm\left[d{\frac {dz}{dt}}+{\frac {dz}{dx}}\left(\mathrm {P} dt-d{\frac {dx}{dt}}\right)\right]-d{\frac {dz}{dx}}\left[\mathrm {T} dt-\mathrm {S} dm\left(\mathrm {P} dt-d{\frac {dx}{dt}}\right)\right]=0.$

Ce seront donc ces deux équations qui serviront à déterminer le mouvement du fil ; mais il y faudra encore ajouter une troisième équation qui se déduira de ce que chaque élément du fil, dont l’expression générale est ${\sqrt {dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}}},$ doit demeurer constant, pendant que le fil varie de courbe. Cette équation sera donc

${\frac {d{\sqrt {dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}}}}{dt}}=0,$

Dans le cas des oscillations infiniment petites on a ${\frac {dx}{dt}}=0,$ parce qu’alors chaque point du fil répond toujours à très-peu près au même point de l’axe ; de plus, si on regarde le fil comme uniformément épais, et que l’élément de sa courbe ${\sqrt {dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}}}$ soit dénoté par $ds,$ on aura $dm=ds,$ et la formule intégrale $\mathrm {S} dm\left(\mathrm {P} dt-d{\frac {dx}{dt}}\right)$ se réduira à $\mathrm {SP} dsdt=\mathrm {P} sdt,$ à cause de $\mathrm {P} dt$ constant, $s$ étant la longueur de la partie