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on aura recours à l’équation générale (U) de l’Article VIII laquelle donnera pour le cas présent

$\mathrm {M} u\delta u+\mathrm {M} 'u'\delta u'+\mathrm {M} ''u''\delta u''=-\mathrm {M} (\mathrm {P} \delta p+\mathrm {Q} \delta q+\mathrm {R} \delta r)=-\mathrm {M} (w\mathrm {P} \delta x+\varpi \delta y),$

en faisant les mêmes suppositions que dans l’Article I.

Il n’y a plus qu’à mettre ces différentes transformées dans l’équation (D) ; or, si l’on fait, pour abréger,

${\begin{aligned}&\mathrm {M} \left(d{\frac {dx}{dt}}+\Pi dt\right)+\mathrm {M} 'd\left[{\frac {1}{dt}}(dx+f\sin \varphi d\varphi )\right]+\mathrm {M} ''d\left[{\frac {1}{dt}}(dx+f'\sin \varphi 'd\varphi ')\right]=[x],\\&\mathrm {M} \left(d{\frac {dy}{dt}}+\varphi dt\right)+\mathrm {M} 'd\left[{\frac {1}{dt}}(dy-f\sin \varphi d\varphi )\right]+\mathrm {M} ''d\left[{\frac {1}{dt}}(dy-f'\cos \varphi 'd\varphi ')\right]=[y],\\&{\frac {\mathrm {M} 'fd\varphi }{dt}}(\cos \varphi dx+\sin \varphi dy)-\mathrm {M} 'd\left[{\frac {f}{dt}}(\sin \varphi dx-\cos \varphi dy+fd\varphi )\right]=[\varphi ],\\&{\frac {\mathrm {M} ''f'd\varphi '}{dt}}(\cos \varphi 'dx+\sin \varphi 'dy)-\mathrm {M} ''d\left[{\frac {f'}{dt}}\left(\sin \varphi 'dx-\cos \varphi 'dy+f'd\varphi '\right)\right]=[\varphi '],\\\end{aligned}}$

on trouve

(H)

$-\int \left([x]\delta x+[y]\delta y-[\varphi ]\delta \varphi -[\varphi ']\delta \varphi '\right)=0,$

d’où l’on tire par notre méthode

$[x]=0,\quad [y]=0,\quad [\varphi ]=0,\quad [\varphi '.].=0,$

quatre équations qui suffiront pour déterminer le rapport des indéterminées $x,y,\varphi ,\varphi '$ au temps $t,$ et par conséquent le mouvement de chacun des trois corps $\mathrm {M,M',M''} .$

XVIII.

Corollaire I. — Si le corps $\mathrm {M}$ était mù dans une rainure courbe représentée par l’équation

$dy=mdx,$

alors il n’y aurait qu’à mettre, dans l’équation (H), $m\delta x$ pour $\delta y,$ et