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$x'',y''$ pour les coordonnées rectangles des autres corps $\mathrm {M',M''} ,$ on aura

${\begin{alignedat}{2}x'\ =&x-f\cos \varphi ,&y'\ =&y-f\sin \varphi ,\\x''=&x-f'\cos \varphi '',\qquad &y''=&y-f'\sin \varphi ',\end{alignedat}}$

${\begin{aligned}ds^{2}\ \ =&dx^{2}\ \ +dy^{2},\\ds'2\ =&dx'2\ +dy'2\,=dx^{2}+dy^{2}+2f\ (\sin \varphi \ dx-\cos \varphi \ dy)d\varphi +f^{2}\ d\varphi ^{2},\\ds''2=&dx''2+dy''2=dx^{2}+dy^{2}+2f'\left(\sin \varphi 'dx-\cos \varphi 'dy\right)d\varphi '+f'^{2}d\varphi '^{2},\end{aligned}}$

d’où l’on tire

${\begin{aligned}\delta ds\ \ =&{\frac {1}{ds}}(dx\delta dx+dy\delta dy),\\\delta ds'\ =&{\frac {1}{ds'}}\left[(dx+f\sin \varphi d\varphi )\delta dx+(dy-f\cos \varphi d\varphi )\delta dy\right.\\&\qquad \left.+fd\varphi (\cos \varphi dx+\sin \varphi dy)\delta \varphi +f\left(\sin \varphi dx-\cos \varphi dy+fd\varphi \right)\delta d\varphi \right],\\\delta ds''=&{\frac {1}{ds''}}\left[\left(dx+f'\sin \varphi 'd\varphi '\right)\delta dx+\left(dy-f'\cos \varphi 'd\varphi '\right)\delta dy\right.\\&\left.+f'd\varphi '(\cos \varphi 'dx+\sin \varphi 'dy)\delta \varphi '+f'\left(\sin \varphi 'dx-\cos \varphi 'dy+f'd\varphi '\right)\delta d\varphi '\right],\\\end{aligned}}$

On substituera ces valeurs dans les intégrales

$\int u\delta ds,\qquad \int u'\delta ds',\qquad \int u''\delta ds''$

de l’équation (D) de l’Article VIII et faisant les transformations et les réductions ordinaires, on trouvera

${\begin{aligned}\int u\ \delta ds\ =&-\int \left(d{\frac {dx}{dt}}\delta x+d{\frac {dy}{dt}}\delta y\right),\\\int u'\delta ds'=&-\int \left[d{\frac {dx+f\sin \varphi d\varphi }{dt}}\delta x+d{\frac {dy-f\cos \varphi d\varphi }{dt}}\delta y\right.\\&\left.-\left({\frac {\cos \varphi dx+\sin \varphi dy}{dt}}fd\varphi -d{\frac {\sin \varphi dx-\cos \varphi dy-fd\varphi }{dt}}f\right)\delta \varphi \right].\end{aligned}}$

Et l’on aura pour $\int u''\delta ds''$ la même expression que pour $\int u'\delta ds',$ en marquant seulement d’un trait les lettres $\varphi$ et $f,$ comme il est aisé de s’en assurer par le calcul.

Pour avoir maintenant la valeur de

$\mathrm {M} udu+\mathrm {M} 'u'\delta u'+\mathrm {M} ''u''\delta u'',$