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valent $d\delta \,;$ cette opération donnera les transformées suivantes :

${\begin{aligned}\int &{\frac {dxd\delta (r\cos \varphi )}{dt}}\\&={\frac {dx\delta (r\cos \varphi )}{dt}}-\int (d\left({\frac {dx}{dt}}\right)\delta (r\cos \varphi )\\&={\frac {dx}{dt}}(\cos \varphi \delta r-r\sin \varphi \delta \varphi )-\int d\left({\frac {dx}{dt}}\right)(\cos \varphi \delta r-r\sin \varphi \delta \varphi )\\&=-\int d\left({\frac {dx}{dt}}\right)(\cos \varphi \delta r-r\sin \varphi \delta \varphi )\end{aligned}}$

(en rejetant les termes qui sont hors du signe d’intégration et qui s’évanouissent toujours dans l’hypothèse de l’Article II), et de même

${\begin{aligned}&\int {\frac {dyd\delta (r\sin \varphi )}{dt}}=-\int d\left({\frac {dy}{dt}}\right)(\sin \varphi \delta r+r\cos \varphi \delta \varphi ).\\&\int {\frac {r^{2}d\varphi d\delta \varphi )}{dt}}=-\int d\left({\frac {r^{2}d\varphi }{dt}}\right)\delta \varphi ,\quad \int {\frac {dr\delta dr}{dt}}=-\int d\left({\frac {dr}{dt}}\right)\delta r,\\&{\frac {(dz+d\mathrm {Z} )d\delta \mathrm {Z} }{dt}}=-\int d{\frac {(dz+d\mathrm {Z} )}{dt}}\delta \mathrm {Z} .\end{aligned}}$

En joignant ensemble toutes ces transformées, et y ajoutant le terme $\int {\frac {rd\varphi ^{2}}{dt}}\delta r,$ on aura la valeur de $\int u'\delta ds'$ exprimée par la formule suivante :

$\int \left[\left(r\sin \varphi d{\frac {dx}{dt}}-r\cos \varphi d{\frac {dy}{dt}}-d{\frac {r^{2}d\varphi }{dt}}\right)\delta \varphi \right.$

$\left.-\left(\cos \varphi d{\frac {dx}{dt}}+\sin \varphi d{\frac {dy}{dt}}+d{\frac {dr}{dt}}-{\frac {r^{2}d\varphi ^{2}}{dt}}\right)\delta r-d{\frac {dz+d\mathrm {Z} }{dt}}\delta \mathrm {Z} \right].$

À présent, pour avoir la valeur de

$\mathrm {M} u\delta u+\mathrm {M} 'u'\delta u'+\mathrm {M} ''u''\delta u'',$

on fera dans l’équation (U) de l’Article VIII toutes les quantités $\mathrm {P,Q,R} ,$ $\mathrm {P',Q'} ,\ldots ,$ qui représentent des forces étrangères égales à zéro, et l’on aura

$\mathrm {M} u\delta u+\mathrm {M} 'u'\delta u'+\mathrm {M} ''u''\delta u''=-\mathrm {MM'F} \delta f-\mathrm {MM''F'} \delta f'-\mathrm {M'M''G} \delta g.$