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savoir

${\frac {d\mathrm {P} }{dq}}={\frac {d\mathrm {Q} }{dp}},\qquad {\frac {d\mathrm {P} }{dr}}={\frac {d\mathrm {R} }{dp}},\qquad {\frac {d\mathrm {Q} }{dr}}={\frac {d\mathrm {R} }{dq}},$

c’est-à-dire que $\mathrm {P} dp+\mathrm {Q} dq+\mathrm {R} dr+\ldots$ devra être une différentielle complète. Si cette condition a lieu, la valeur de $u\delta u$ sera simplement

$-\mathrm {P} \delta p-\mathrm {Q} \delta q-\mathrm {R} \delta r-\ldots \,;$

autrement, il faudra encore tenir compte de l’intégrale

$\int (\delta \mathrm {P} dp-d\mathrm {P} \delta p+\ldots )$

pour rendre la formule $\int uds$ un vrai maximum ou minimum ; mais les équations qu’on trouverait alors ne seraient plus les véritables équations du mouvement du corps.

VII.

Remarque II. — Ce Problème est le seul auquel M. Euler ait appliqué son principe. Il l’a aussi résolu pour les deux cas des coordonnées rectangles et des rayons partant d’un centre fixe. Mais pour pouvoir comparer ses solutions avec les nôtres, il faut remarquer :

1^o Que M. Euler n’a considéré que des courbes à simple courbure ;

2^o Qu’il n’a cherché le maximum ou le minimum de la formule $\int uds$ qu’eu égard à la variabilité de l’ordonnée $y$ dans le premier cas, et à celle de l’angle que nous avons nommé $\varphi$ dans le second. (Voyez l’Addition citée au commencement de ce Mémoire.)

Au reste, il est clair que par notre méthode on pourra encore varier la solution de ce Problème en plusieurs autres manières, selon les différentes sortes de coordonnées qu’on choisira pour représenter la trajectoire cherchée.