Page:Lagrange - Œuvres (1867) vol. 1.djvu/430

fera évanouir les premiers et les derniers \delta x,\delta y,\delta z, et par conséquent aussi tous les termes en question. (Voyez l’Article IV du Mémoire précédent.)

III.

Corollaire. — Imaginons que le mobile $\mathrm {M}$ sollicité par les mêmes forces $\mathrm {P,Q,R} ,\ldots$ soit contraint de se mouvoir sur une surface courbe donnée par l’équation $dz=pdx+qdy,$ en changeant $d$ en $\delta ,$ on aura $\delta z=p\delta x+q\delta y,$ substituant cette valeur de $\delta z$ dans l’équation (B), et faisant les deux coefficients de $\delta x$ et de $\delta y$ chacun égal à zéro, on aura deux équations

${\begin{aligned}d{\frac {udx}{ds}}+\Pi dt+\left[d{\frac {udz}{ds}}+\Psi dt\right]p=&0,\\d{\frac {udy}{ds}}+\varpi dt+\left[d{\frac {udz}{ds}}+\Psi dt\right]q=&0,\end{aligned}}$

qui, avec l’équation donnée

$dz=pdx+qdy,$

suffiront pour résoudre le Problème.

IV.

Autre solution. — Qu’on prenne, à la place des deux coordonnées rectangles $x,y,$ un rayon variable $x$ qui tourne autour d’un point fixe dans le même plan des $x$ et des $y,$ et dont la position à chaque instant soit déterminée par un angle $\varphi .$ Conservant la troisième coordonnée $z.$ qu’on imaginera élevée de l’extrémité du rayon $x$ perpendiculairement au plan de l’angle $\varphi ,$ il est facile de trouver que l’élément $ds$ de la courbe sera

${\sqrt {x^{2}d\varphi ^{2}+dx^{2}+dz^{2}}}\,;$

ainsi on aura, en différenciant,

${\begin{aligned}\delta ds=&{\frac {x^{2}d\varphi \delta d\varphi +xd\varphi ^{2}\delta x+dx\delta dx+dz\delta dz}{ds}}\\=&{\frac {x^{2}d\varphi d\delta \varphi +xd\varphi ^{2}\delta x+dxd\delta x+dzd\delta z}{ds}}.\end{aligned}}$