Page:Lagrange - Œuvres (1867) vol. 1.djvu/428

Qu’on fasse disparaître dans cette expression les différentielles de \delta x,\delta y,\delta z par la méthode des intégrations par parties, pratiquée dans le Mémoire précédent, on aura la transformée suivante :

${\begin{aligned}\int u\delta ds=&-\int \left(d{\frac {udx}{ds}}\delta x+d{\frac {udy}{ds}}\delta y+d{\frac {udz}{ds}}\delta z\right)\\&+{\frac {udx}{ds}}\delta x+{\frac {udy}{ds}}\delta y+{\frac {udz}{ds}}\delta z.\end{aligned}}$

Il ne s’agit plus que d’exprimer les différences $\delta p,\delta q,\delta r\ldots$ par les $\delta x,\delta y,\delta z.$ Pour cela, on cherchera les valeurs analytiques des lignes $p,q,r,\ldots ,$ rapportées aux coordonnées $x,y,z,$ et on prendra leurs différentielles en mettant $\delta$ pour $d.$ Soit supposé, en général,

${\begin{aligned}dp=&\mathrm {L} \ dx+l\,\ \ dy+\lambda dz,\\dq=&\mathrm {M} dx+mdy+\mu dz,\\dr=&\mathrm {N} \,dx+n\ dy+\nu dz\,;\end{aligned}}$

il est clair qu’on aura aussi

${\begin{aligned}\delta p=&\mathrm {L} \ \delta x+l\,\ \ \delta y+\lambda \delta z,\\\delta q=&\mathrm {M} \delta x+m\delta y+\mu \delta z,\\\delta r=&\mathrm {N} \,\delta x+n\ \delta y+\nu \delta z\,;\end{aligned}}$

Donc, si on fait, pour abréger,

${\begin{aligned}\mathrm {PL+QM+RN} =&\Pi ,\\\mathrm {P} l\ +\mathrm {Q} m\,+\mathrm {R} n=&\varpi ,\\\mathrm {P} \lambda +\mathrm {Q} \ \mu \ +\mathrm {R} \nu =&\Psi ,\end{aligned}}$

on aura

$\mathrm {P} \delta p+\mathrm {Q} \delta q+\mathrm {R} \delta r+\ldots =\Pi \delta x+\varpi \delta y+\Psi \delta z.$

Faisant toutes ces différentes substitutions dans l’équation (A), elle deviendra

(B)

$\left\{{\begin{aligned}-\int \left[\left(d{\frac {udx}{ds}}+\Pi dt\right)\delta x+\left(d{\frac {udy}{ds}}+\varpi dt\right)\delta y+\left(d{\frac {udz}{ds}}+\Psi dt\right)\delta z\right]&\\+{\frac {udx}{ds}}\delta x+{\frac {udy}{ds}}\delta y+{\frac {udz}{ds}}\delta z=0,&\end{aligned}}\right.$