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par parties les termes $\mathrm {P} d\delta p,\mathrm {Q} d\delta q,\mathrm {R} d\delta r,\ldots ,$

${\begin{aligned}u\delta u=&-\mathrm {P} \delta p-\mathrm {Q} \delta q-\mathrm {R} \delta r-\ldots \\&+\int \left(\delta \mathrm {P} dp-d\mathrm {P} \delta p+\delta \mathrm {Q} dq-d\mathrm {Q} \delta q+\delta \mathrm {R} dr-d\mathrm {R} \delta r+\ldots \right).\end{aligned}}$

Or, par hypothèse,

$\mathrm {P=fonct} .p,\quad \mathrm {Q=fonct} .q,\quad \mathrm {R=fonct} .r,\ldots \,;$

on trouvera donc, en différentiant,

${\frac {\delta \mathrm {P} }{\delta p}}={\frac {d\mathrm {P} }{dp}},\quad {\frac {\delta \mathrm {Q} }{\delta r}}={\frac {d\mathrm {Q} }{dq}},\quad {\frac {\delta \mathrm {R} }{\delta r}}={\frac {d\mathrm {R} }{dr}},\ldots ,$

et par conséquent

$\delta \mathrm {P} dp-d\mathrm {P} \delta p=0,\qquad \delta \mathrm {Q} dq-d\mathrm {Q} \delta q=0,\qquad \delta \mathrm {R} dr-d\mathrm {R} \delta r=0,\ldots \,;$

donc

$u\delta u=-\mathrm {P} \delta p-\mathrm {Q} \delta q-\mathrm {R} \delta r-\ldots \ \ {\text{et}}\ \ \delta uds=-\mathrm {P} dt\delta p-\mathrm {Q} dt\delta q-\mathrm {R} dt\delta r-\ldots ,$

en mettant au lieu de ${\frac {ds}{u}}$ son égale $dt\,;$ donc l’équation ci-dessus se changera en celle-ci

(A)

$\int \left(u\delta ds-Pdt\delta p-Qdt\delta q-Rdt\delta r-\ldots \right)=0.$

Il faut maintenant chercher le rapport que les différences $\delta p,\delta q,\delta r,\ldots ,$$\delta ds$ ont entre elles, ce qui se fera différemment selon les différentes sortes de coordonnées qu’on emploiera pour représenter la trajectoire. Et, premièrement, soient prises trois coordonnées rectangles $x,y,z\,;$ on aura

$ds={\sqrt {dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}}}\,;$

par conséquent,

$\delta ds={\frac {dx\delta dx+dy\delta dy+dz\delta dz}{ds}}={\frac {dxd\delta x+dyd\delta y+dzd\delta z}{ds}},$

en changeant $\delta dx,\ldots$ en $d\delta x,\ldots \,;$

donc

$\int u\delta ds=\int \left({\frac {udx}{ds}}d\delta x+{\frac {udy}{ds}}d\delta y+{\frac {udz}{ds}}d\delta z\right).$