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Qu’on multiplie la première par $dx$ et la seconde par $dy,$ et qu’ensuite on les ajoute ensemble, il viendra

$\left(x+{\frac {1}{2}}dx\right)dx+\left(y+{\frac {1}{2}}dy\right)dy=adx+bdy\,;$

et, en intégrant,

${\frac {1}{2}}x^{2}+{\frac {1}{2}}y^{2}=ax+by+r^{2},$

équation d’un cercle en général. Qu’on reprenne les mêmes équations et qu’on les carre, après avoir transposé les termes $x+{\frac {1}{2}}dx$ et $y+{\frac {1}{2}}dy,$ on aura

${\frac {k^{2}dy^{2}}{dx^{2}+dy^{2}}}=\left(a-x-{\frac {1}{2}}dx\right)^{2},\qquad {\frac {k^{2}dx^{2}}{dx^{2}+dy^{2}}}=\left(b-y-{\frac {1}{2}}dy\right)^{2}\,;$

ces équations étant ajoutées ensemble donnent

${\begin{aligned}k^{2}&=\left(a-x-{\frac {1}{2}}dx\right)^{2}+\left(b-y-{\frac {1}{2}}dy\right)^{2}\\&=a^{2}+b^{2}-2ax-2by+x^{2}+y^{2}-(a-x)dx-(b-y)dy+{\frac {1}{4}}dx^{2}+{\frac {1}{4}}dy^{2}\\&=a^{2}+b^{2}+r^{2}-{\frac {1}{4}}dx^{2}-{\frac {1}{4}}dy^{2},\end{aligned}}$

à cause de

$x^{2}+y^{2}-2ax-2by=r^{2}\quad {\text{et}}\quad (a-x)dx+(b-y)dy={\frac {1}{2}}dx^{2}+{\frac {1}{2}}dy^{2}\,;$

donc

${\sqrt {dx^{2}+dy^{2}}}=2{\sqrt {a^{2}+b^{2}+r^{2}-k^{2}}},$

ce qui montre que tous les côtés du polygone doivent être égaux entre eux, et que par conséquent le polygone doit être régulier.

À l’égard des termes $z\delta y,\ u\delta x$ il est clair que ces termes disparaîtront d’eux-mêmes, si l’on suppose les premiers et derniers $x$ et $y$ donnés ; mais si, la base du polygone étant donnée et étant égale à $c,$ l’ordonnée $y$ qui y répond ne l’était pas, il faudrait faire $u=0$ et $z=0,$ lorsque $x=c\,;$ on aurait donc $b=0,$ $c=a,$ et la base $c$ deviendrait le diamètre du cercle circonscrit au polygone.