particulier, mais seulement leur somme, c’est-à-dire le périmètre du polygone, on fera simplement égale à zéro la différence de l’intégrale
ce qui donnera l’équation
![{\displaystyle \delta \int {\sqrt {dx^{2}+dy^{2}}}=\int {\frac {dx\delta x+dy\delta dy}{\sqrt {dx^{2}+dy^{2}}}}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d6f35d3397b53e2076fa8037781e9c91a51dc8c9)
laquelle devra avoir lieu en même temps que l’équation du maximum
![{\displaystyle \int \left[dx\delta y+{\frac {1}{2}}dx\delta dy+\left(y+{\frac {1}{2}}dy\right)\delta dx\right]=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48a9de6508cb9cca4f9d6a38dd167e2ad2771d8f)
Multipliant donc une de ces équations par un coefficient indéterminé
et les ajoutant ensemble, on aura en général
![{\displaystyle \int \left[dx\delta y+\left({\frac {1}{2}}dx+{\frac {kdy}{\sqrt {dx^{2}+dy^{2}}}}\right)\delta dy+\left(y+{\frac {1}{2}}dy+{\frac {kdx}{\sqrt {dx^{2}+dy^{2}}}}\right)\delta dx\right]=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31e08aecb4e233fbef69c4a07f70002e8e48dd48)
Soit supposé
![{\displaystyle {\frac {1}{2}}dx+{\frac {kdy}{\sqrt {dx^{2}+dy^{2}}}}=z\quad {\text{et}}\quad y+{\frac {1}{2}}dy+{\frac {kdx}{\sqrt {dx^{2}+dy^{2}}}}=u,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/537697cbb3d847a2c0fd1b9d39665c8ec4d6c672)
on aura
![{\displaystyle \int (dx\delta y+z\delta dy+u\delta dx)=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/17ae0c424bd01155b10be5189fab68256323491f)
équation qui se transforme par la même méthode que ci-dessus en
![{\displaystyle z\delta y+u\delta x-\int \left[\left(dx-d\,{\grave {\,}}\!z\right)\delta y-d\,{\grave {\,}}\!u\delta x\right]=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0727ee108e7a5a2083ad186ed9a069d12707b42d)
d’où l’on tire
![{\displaystyle dx-d\,{\grave {\,}}\!z=0\quad {\text{et}}\quad d\,{\grave {\,}}\!u=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e8f9887d3bf587dd7697698c6222d667af4dc00)
on aura donc, en intégrant.
![{\displaystyle x-{\grave {\,}}\!z=a,\quad {\text{savoir}}\quad x+dx-z=a,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c43caff2c33f2e65bd8a128ebdc10fcf25c1869f)
et
![{\displaystyle {\grave {\,}}\!u=b,\quad {\text{savoir}}\quad u=b,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8afa7af1c3a2abfa4521a3688046a578ae1f5070)
c’est-à-dire, en substituant pour
et
leurs valeurs,
![{\displaystyle x+{\frac {1}{2}}dx-{\frac {kdy}{\sqrt {dx^{2}+dy^{2}}}}=a,\qquad y+{\frac {1}{2}}dy+{\frac {kdx}{\sqrt {dx^{2}+dy^{2}}}}=b.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a61fbca182269269c7d8d807ba5efeab8d42b67)