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et, en dénotant par $\delta y'$ le terme qui suit $\delta y,$

$d(z\delta y)=zd\delta y+dz\delta y'\,;$

donc

$z\delta y=\int zd\delta y+\int dz\delta y',$

donc

$\int zd\delta y=z\delta y-\int dz\delta y',$

ou, ce qui est la même chose,

$\int zd\delta y=z\delta y-\int d\,{\grave {\,}}\!z\delta y,$

$d\,{\grave {\,}}\!z$ étant le terme qui précède $dz$ et qui par conséquent est multiplié par $\delta y\,;$ substituant ces valeurs dans l’équation ci-dessus, elle deviendra

$z\delta y+\int \left(dx-d\,{\grave {\,}}\!z\right)\delta y=0.$

Supposons que le polygone coupe l’axe en deux points, en sorte que le premier et le dernier y soient nuls, aussi bien que leurs différences $\delta y\,;$ le terme $z\delta y$ qui est hors du signe $\int$ disparaîtra, et l’on aura simplement

$\int \left(dx-d\,{\grave {\,}}\!z\right)\delta y=0,$

ce qui donnera en général

$dx-d\,{\grave {\,}}\!z=0,$

c’est-à-dire, en intégrant,

$a=x-{\grave {\,}}\!z=x'-z=x+dx-z=x+dx-{\frac {1}{2}}dx+{\frac {ydy}{dx}}+{\frac {1}{2}}{\frac {dy^{2}}{dx}}\,;$

multipliant par $dx$ et réduisant, on aura

$adx=\left(x+{\frac {1}{2}}dx\right)dx+\left(y+{\frac {1}{2}}dy\right)dy={\frac {1}{2}}d(x^{2})+{\frac {1}{2}}d(y^{2})\,;$

et intégrant de nouveau,

$2ax+r^{2}=x^{2}+y^{2},$

équation d’un cercle dont le centre est dans l’axe des $x\,;$ donc on voit