Substituant ces valeurs dans l’équation ci-dessus, elle deviendra
laquelle devra être vraie indépendamment de on aura donc en général, pour tous les points de la surface cherchée,
ce qui montre que cette quantité
doit être une différentielle complète. Le problème se réduit donc à chercher et par ces conditions que
soient l’une et l’autre des différentielles exactes.
Il est d’abord clair qu’on satisfera à ces conditions en faisant et constantes, ce qui donnera un plan quelconque pour la surface cherchée ; mais ce ne sera là qu’un cas très-particulier, car la solution générale doit être telle, que le périmètre de la surface puisse être déterminé à volonté.
Si la surface cherchée ne devait être un minimum qu’entre toutes celles qui forment des solides égaux, alors, étant l’élément du solide, il faudrait que la formule demeurât la même pendant que l’autre, la formule varie ; on aurait donc à la fois les deux équations
savoir
Qu’un multiplie la première par un coefficient quelconque et qu’on