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Substituant ces valeurs dans l’équation ci-dessus, elle deviendra

$-\iint dxdy\left[\left({\frac {d\mathrm {P} }{dx}}\right)+\left({\frac {d\mathrm {Q} }{dy}}\right)\right]\delta z=0,$

laquelle devra être vraie indépendamment de $\delta z\,;$ on aura donc en général, pour tous les points de la surface cherchée,

$\left({\frac {d\mathrm {P} }{dx}}\right)+\left({\frac {d\mathrm {Q} }{dy}}\right)=0\,;$

ce qui montre que cette quantité

$\mathrm {P} dy-\mathrm {Q} dx,\quad {\text{savoir}}\quad {\frac {pdy-qdx}{\sqrt {1+p^{2}+q^{2}}}},$

doit être une différentielle complète. Le problème se réduit donc à chercher $p$ et $q$ par ces conditions que

$pdx+qdy\quad {\text{et}}\quad {\frac {pdy-qdx}{\sqrt {1+p^{2}+q^{2}}}}$

soient l’une et l’autre des différentielles exactes.

Il est d’abord clair qu’on satisfera à ces conditions en faisant $p$ et $q$ constantes, ce qui donnera un plan quelconque pour la surface cherchée ; mais ce ne sera là qu’un cas très-particulier, car la solution générale doit être telle, que le périmètre de la surface puisse être déterminé à volonté.

Si la surface cherchée ne devait être un minimum qu’entre toutes celles qui forment des solides égaux, alors, $zdxdy$ étant l’élément du solide, il faudrait que la formule $\iint zdxdy$ demeurât la même pendant que l’autre, la formule $\iint dxdy{\sqrt {1+p^{2}+q^{2}}}$ varie ; on aurait donc à la fois les deux équations

$\delta \left(\iint zdxdy\right)=0\quad {\text{et}}\quad \delta \left(\iint dxdy{\sqrt {1+p^{2}+q^{2}}}\right)=0,$

savoir

$\iint dxdy\delta z=0\quad {\text{et}}\quad \iint dxdy\left[\left({\frac {d\mathrm {P} }{dx}}\right)+\left({\frac {d\mathrm {Q} }{dy}}\right)\right]\delta z=0.$

Qu’un multiplie la première par un coefficient quelconque $k$ et qu’on