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VII.

Remarque I. — M. Euler est le premier qui ait donné des formules générales pour trouver les courbes dans lesquelles une fonction intégrale donnée est la plus grande ou la plus petite (voyez l’ouvrage dont on a fait mention plus haut, page 335) ; mais les formules de cet Auteur sont moins générales que les nôtres : 1^o parce qu’il ne fait varier que la seule changeante $y$ dans l’expression $\mathrm {Z} \,;$ 2^o parce qu’il suppose que le premier et le dernier point de la courbe sont fixes. En introduisant ces conditions dans nos formules, elles deviendront entièrement conformes à celles du Problème V du Traité cité ; il faudra seulement mettre $\mathrm {Z} dx$ au lieu de $\mathrm {Z} ,$ et ensuite ${\frac {\mathrm {P} }{dx}},{\frac {\mathrm {Q} }{dx^{2}}},\ldots$ au lieu de $\mathrm {P,Q} ,\ldots ,$ $dx$ étant constant.

VIII.

Remarque II. — Soit supposé

$dy=\mathrm {A} dx,\quad d\mathrm {A} =\mathrm {B} dx,\ldots ,\quad dz=\alpha dx,\quad d\alpha =\beta dx,\ldots ,$

il est clair qu’en substituant ces valeurs dans l’expression $\mathrm {Z} ,$ elle prendra cette forme $\mathrm {X} dx,$ où $\mathrm {X}$ sera une fonction quelconque algébrique des variables finies

$x,y,z,\mathrm {A,B} ,\ldots ,\alpha ,\beta ,\ldots \,;$

faisons donc

$\delta \mathrm {X} =\mathrm {N} '\delta x+n'\delta y+\nu '\delta z+\mathrm {P} '\delta \mathrm {A} +\mathrm {Q} '\delta \mathrm {B} +\ldots +\varpi '\delta \alpha +\chi '\delta \beta +\ldots ,$

on aura

${\begin{aligned}&\delta \mathrm {Z} =\delta (\mathrm {X} dx)=\delta \mathrm {X} dx+\mathrm {X} \delta x=\delta \mathrm {X} dx+{\frac {\mathrm {Z} \delta dx}{dx}}=\mathrm {N} 'dx\delta x+{\frac {\mathrm {Z} }{dx}}\delta dx\\&+n'dxdy+\nu 'dx\delta z+\mathrm {P} 'dx\delta \mathrm {A} +\mathrm {Q} 'dx\delta \mathrm {B} +\ldots +\varpi 'dx\delta \alpha +\chi 'dx\delta \beta +\ldots .\end{aligned}}$

Or,

${\begin{aligned}dy=&\mathrm {A} dx,\\d^{2}y=&\mathrm {B} dx^{2}+\mathrm {A} d^{2}x,\\\ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \end{aligned}}$