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il s’ensuit que $d^{2}y,$ en ne faisant varier que $t,$ est

${\frac {\theta \rho -tr-(tr-\mathrm {TR} )}{2}}+{\frac {\theta '\rho '-t'r'-(t'r'-\mathrm {T'R'} )}{2}}\,;$

donc

${\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}={\frac {\theta \rho +\mathrm {TR} -2tr}{2{\overline {\mathrm {T} t}}^{2}}}+{\frac {\theta '\rho '+\mathrm {T'R'} -2t'r'}{2{\overline {\mathrm {T} t}}^{2}}}={\frac {-ro-r'o'}{{\overline {\mathrm {T} t}}^{2}}},$

en menant les cordes $\mathrm {R\rho ,R'} \rho '.$ Maintenant faisons $t$ constant et égal à $\mathrm {PT} ,$ et $x$ variable ; prenons $\mathrm {P} p=p\varpi =dx,$ et supposons $dx=\mathrm {T} t,$ ce qui est évidemment permis : 1^o nous aurons

$\mathrm {A} t=x+t+dx,\qquad \mathrm {A} \theta =x+t+2dx\,;$

2^o Faisant $\mathrm {T} 't''=t''\theta ''=\mathrm {P} p=\mathrm {T} t,$ nous aurons

$\mathrm {A} t''=x+dx-t,\qquad \mathrm {A} \theta ''=x+2dx-ts\,;$

donc, menant la corde $\mathrm {R} 'p'',$ on trouvera que $d^{2}y,$ en ne faisant varier que $x,$ est $-ro-r''\omega \,;$ donc

${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}={\frac {-ro-r''\omega }{{\overline {\mathrm {P} p}}^{2}}}.$

Il faut donc, pour que ${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}$ soit égal à ${\frac {d^{2}y}{dt^{2}}},$ que $r'o'=r''\omega .$ »

Je réponds que, dans l’équation générale

${\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}={\frac {d^{2}y}{dx^{2}}},$

en ne faisant varier que $x,$ $d^{2}y$ est la différence seconde de trois ordonnées consécutives, dont l’une répond à l’abscisse $x-dx,$ l’autre à l’abscisse $x,$ la troisième à l’abscisse $x+dx,$ et que, en ne faisant varier que $t,$ $d^{2}y$ est la différence seconde de trois ordonnées répondant à la même abscisse $x,$ la première pour le temps $t-dt,$ la seconde pour le temps $t,$ la dernière pour le temps $t+dt,$ comme M. d’Alembert lui-même le dit dans le § X ; qu’ainsi, en ne faisant varier que $t,$ la valeur de $d^{2}y$ sera, suivant la construction de M. Euler et la mienne, en tirant