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trouver la figure de la corde à chaque instant ; construction qui est précisément la même que celle qui résulte de ma théorie (XL).

1^o M. d’Alembert prétend que cette construction ne peut satisfaire à l’équation de la corde vibrante

${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}={\frac {d^{2}y}{dt^{2}}},$

à moins que la courbe initiale $\mathrm {AMB}$ ne soit telle que les flèches $r''\omega ,$

$r'o'$ de deux arcs consécutifs et infiniment petits, $\rho ''\mathrm {R} ',\mathrm {R} 'p',$ soient égales ; ou, ce qui est la même chose, que la courbure au point $r''$ soit la même que la courbure au point $r'$ infiniment proche ; ce qui exclut déjà toutes les courbes dans lesquelles le rayon osculateur change brusquement en quelque point. Voici le raisonnement de M. d’Alembert :

« Soit pris, dit-il dans le § VII du Mémoire sur les vibrations de Cordes sonores, imprimé dans le même volume, $\mathrm {AP} =x$, $\mathrm {PT} =t$ sur l’axe $\mathrm {AB} \,;$ donc, regardant $x$ comme constante, et faisant $\mathrm {PT'=PT} ,$ $\mathrm {T} t=t\theta =\mathrm {T} t'=t'\theta '=dt,$ on aura

${\begin{alignedat}{3}\mathrm {AT} \ =&x+t,\qquad &\mathrm {A} t\ =&x+t+dt,\qquad &\mathrm {A} \theta \ =x+t+2dt,\\\mathrm {AT'} =&x-t,&\mathrm {A} t'=&x-t-dt,&\mathrm {A} \theta '=x-t-2dt,\\\end{alignedat}}$

Or $y$ étant, suivant la construction de M. Euler, égal à la demi-ordonnée $\mathrm {TR}$ qui répond à $x+t$ plus à la demi-ordonnée $\mathrm {T'R'}$ qui répond à $x-t,$