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sinus. M. d’Alembert m’objecte que cela n’est permis que pour tout angle ${\frac {\nu \varpi }{4m}},$ $\nu$ étant un nombre fini, et nullement pour les angles ${\frac {(m-1)\varpi }{4m}},$${\frac {(m-2)\varpi }{4m}},\ldots .$ Cette objection prise en elle-même est solide et sans réplique ; mais elle perd toute sa force si on la considère par rapport à la formule dont il s’agit, car je vais prouver directement et invinciblement que les expressions

$\sin {\frac {\varpi }{4m}},\quad \sin {\frac {2\varpi }{4m}},\ldots \quad \sin {\frac {(m-1)\varpi }{4m}}$

doivent être changées en

${\frac {\varpi }{4m}},\quad {\frac {2\varpi }{4m}},\ldots \quad {\frac {(m-1)\varpi }{4m}},$

dans le cas de $m=\infty .$

En remontant à l’analyse du Chapitre cité, il est aisé de trouver que toutes ces expressions viennent (XXI) de l’expression générale

$\pm 2{\sqrt {e}}\sin {\frac {\nu \varpi }{4m}}{\sqrt {-1}},$

qui est celle du coefficient $\mathrm {R}$ (XIX), $\nu$ étant un nombre quelconque entier depuis zéro jusqu’à $m.$ Tout se réduit donc à prouver que, quand $m=\infty ,$

$\mathrm {R} =\pm 2{\sqrt {e}}{\frac {\nu \varpi }{4m}}{\sqrt {-1}}.$

Pour y parvenir, je remarque d’abord (XIX) que

$\mathrm {R} ^{2}=e(k-2)\,;$

je vois de plus que la valeur de $k$ dépend de cette condition que

$\mathrm {M} _{\mu }={\frac {a^{\mu }-b^{\mu }}{a-b}}=0,$

lorsque $\mu =m,$ $a$ étant égal à ${\frac {k}{2}}+{\sqrt {{\frac {k^{2}}{4}}-1}}$ et $b$ égal à ${\frac {k}{2}}-{\sqrt {{\frac {k^{2}}{4}}-1}},$